UnB, Cálculo I, Lista 6, questão 1
Os passos seguintes nos permitem calcular a derivada de e .
(a) Use o Limite Trigonométrico Fundamental para calcular as derivadas das funções no ponto , isto é,
,
(b) Use a identidade , os limites acima e definição de derivada para concluir que
(c) Repita o argumento acima com a identidade para concluir que .
Passo 1
Faaaaala, galeeeera! Tudo certinho?
Para resolver essa questão vamos seguir os passos dados no enunciado. Temos 3 passos, para que possamos derivar as funções trigonométricas utilizando o limite fundamental.
Vamos utilizar as seguintes relações trigonométricas ao longo da questão, então lembre-se delas:
Passo 2
Primeiramente, vamos calcular a derivada da no ponto , utilizando o limite fundamental.
Calculando para :
Pela relação , podemos reescrever o limite como
Vamos colocar em evidência e aplicando e :
Logo, a derivada de seno no ponto é:
Passo 3
Agora vamos calcular da no ponto , utilizando o limite fundamental.
Pela relação , podemos reescrever o limite como
Vamos colocar em evidência e aplicando e :
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada de seno sem aplicar a nenhum ponto. Para isso basta seguirmos os mesmos passos, porém não vamos substituir nenhum valor para .
Calculando para :
Pela relação , podemos reescrever o limite como
Vamos colocar em evidência e aplicando e :
Logo, a derivada de seno é:
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada de cosseno sem aplicar a nenhum ponto. Para isso basta seguirmos os mesmos passos, porém não vamos substituir nenhum valor para .
Agora vamos calcular da , utilizando o limite fundamental.
Pela relação , podemos reescrever o limite como
Vamos colocar em evidência e aplicando e :
Prontinhoooo! Finalizamos!
Resposta
As demonstrações podem ser vistas nos passos.