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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFES, 2018.1, Lista 6, Q04

04) Quantas retas tangentes ao gráfico de y = x 3 + 3 x são paralelas à reta y = 6 x + 1 ? Determine as equações dessas retas tangentes.

Passo 1

Faaaala galera, tudo certinho?

Nessa questão a gente tá interessado em achar retas tangentes à curva y = x 3 + 3 x . Mas não é qualquer reta tangente, a gente quer só as que tem uma inclinação específica! A gente quer determinar as equações das tangentes à reta y = x 3 + 3 x que também são paralelas à reta y = 6 x + 1 .

Bom, é um misto de cálculo e geometria analítica. Da parte de cálculo 1, precisamos ter em mente uma informação muito importante que eu vou te falar agora: a derivada de uma função em um ponto é justamente o coeficiente angular da reta tangente à função naquele ponto.

Já pelo lado da geometria analítica, só precisamos lembrar que as retas paralelas são aquelas que possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, a mesma inclinação, beleza?!

Passo 2

Então bora lá! Primeiro, vamos começar determinando a derivada da função:

y = f x = x 3 + 3 x

⇒ f ' x = x 3 + 3 x ' = x 3 ' + 3 x '

Agora é só lembrar da regra de derivação dos monômios:

x n ' = n ⋅ x n - 1

Daí aplicando no nosso caso, ficamos com:

f ' x = 3 x 2 + 3 ⋅ x 0 = 3 x 2 + 3

Boa pessoal, isso que encontramos é a derivada de f , então ela é como uma função que retorna os coeficientes angulares das tangentes pra cada valor de x 0 .

Passo 3

Como queremos apenas as tangentes que são paralelas à y = 6 x + 1 , queremos que f ' x 0 = 6 . Assim:

f ' x 0 = 3 ⋅ x 0 2 + 3 = 6

Resolvendo a equação do 2° grau, temos:

⇒ 3 x 0 2 = 3 ∴ x 0 2 = 1

x 0 = ± 1

Opa, então temos dois valores possíveis de x 0 que geram retas tangentes paralelas à y = 6 x + 1 .

Uhuull! Já encontramos a primeira resposta. Essa curva tem 2 retas tangente que são paralelas a y = 6 x + 1

Passo 4

Agora precisamos encontrar a equação dessas retas. Pra fazer isso é bizu ter sempre em mente a equação da reta tangente na forma reduzida:

y - f x 0 = m ( x - x 0 )

  1. x 0 =     1 :

    2. ⇒ f x 0 = f 1 = 1 3 + 3 ⋅ 1 = 4

    m = f ' 1 = 6

    Logo, a equação da reta tangente a x 0 = 1 fica:

    y - 4 = 6 ( x - 1 )

  2. x 0 =   - 1 :

⇒ f x 0 = f - 1 =   - 1 3 + 3 ⋅ - 1 =   - 4

m = f ' - 1 = 6

Logo, a equação da reta tangente a x 0 = - 1 fica:

y + 4 = 6 x + 1

Prontinho 😊

Resposta

Em x =   1 : y - 4 = 6 ( x - 1 )

Em x = - 1 : y + 4 = 6 x + 1

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