Passo 1

Resumidamente, queremos achar a equação da aceleração utilizando de limites e da função velocidade. Para tal, lembremos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade; e uma taxa de variação de uma função -por sua vez- é a sua derivada. Então, galerinha, só precisamos calcular a derivada de v ( t ) usando limites e então achando a t do nosso possante.

Tiramos então, do cálculo de derivada por limite:

v ' t =   lim h → 0 ⁡ v t + h - v ( t ) h = lim h → 0 ⁡ c o s ⁡ ( t + h ) - c o s ⁡ ( t ) h

Passo 2

Observemos que cos ⁡ t + h é o cosseno da soma, portanto:

cos ⁡ t + h = cos ⁡ t cos ⁡ h - s e n t s e n ( h )

Reescrevemos:

v ' t   = lim h → 0 ⁡ c o s ⁡ ( t + h ) - c o s ⁡ ( t ) h = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ t cos ⁡ h - s e n t s e n h   - c o s ⁡ ( t ) h = lim h → 0 ⁡   cos ⁡ t [ cos ⁡ h - 1 ] -   s e n t s e n h   h

=   cos ⁡ t × lim h → 0 ⁡   [ cos ⁡ h - 1 ]   h -   s e n t × lim h → 0 ⁡   s e n h   h

Passo 3

Lembremos:

lim h → 0 ⁡   s e n h   h = 1

lim h → 0 ⁡   [ cos ⁡ h - 1 ]   h = 0

Portanto:

v ' t = cos ⁡ t × lim h → 0 ⁡   [ cos ⁡ h - 1 ]   h -   s e n t × lim h → 0 ⁡   s e n h   h =   - s e n ( t )

E é isso, rápido assim 😉

Passo 4

Resposta

v ' t =   - s e n ( t )

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