UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P3 - 2008.2, Questão 4
Seja . Determinar as declividades das tangentes à elipse
em função de . Verificar que independe de . Quais são os pontos das tangentes horizontais? Quais são as tangentes (em forma cartesiana) para e ?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar as declividades das tangentes à elipse, que nada mais é do que determinar a inclinação dessas retas. Quando a gente fala em inclinação da reta, o que vem a cabeça? Derivada, né mesmo? Por isso, pra calcular essa declividade vamos usar a fórmula:
Onde é a derivada da função em relação a , e é a própria função. Então, nós vamos substituir isso na função e encontrar a declividade. Em seguida, vamos calcular as tangentes horizontais, que acontecem quando e , e as tangentes verticais, que acontecem quando e .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada na função , considerando uma constante e usando a regra do quociente na derivação:
Agora vamos substituir esse valor junto com o valor de na equação da declividade:
Fazendo o produto entre os termos:
Tirando o M.M.C. em cima e embaixo, temos:
Na divisão de frações, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda, então temos:
Simplificando:
Simplificando agora o denominador:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Repare que a declividade realmente independe de , como dito pelo enunciado.
Passo 3
Agora vamos verificar tangentes horizontais, que acontecem quando e . Pra isso, vamos usar as relações:
Sabendo que , temos:
Derivando em relação a , usando a regra do quociente, vamos obter:
Igualando a zero, vamos ter :
O denominador não pode ser zero, então temos:
Aplicando a propriedade distributiva:
Colocando em evidência:
Usando a identidade trigonométrica :
Isolando :
Para que o cosseno do ângulo seja igual a , os valores que pode assumir são:
Para .
Quando o ângulo assume esses valores, temos nossas retas horizontais.
Passo 4
Verificando agora as retas verticais, que acontecem quando e . Nós vimos no passo anterior que:
Derivando em relação a , usando a regra do quociente, temos:
Igualando esse resultado a zero, temos :
Que implica em:
Para que o seno do ângulo seja igual a , os valores que pode assumir são:
Para .
Quando o ângulo assume esses valores, temos nossas retas verticais.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉