USP – Cálculo I – IME – 2021.1 – Q1
Seja Determine, caso existam:
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?
O problema tá trazendo pra gente uma questão que é: como a gente calcula a derivada da função dada nos pontos especificados?
Para verificar se a derivada existe, precisamos fazer tender ao valor do ponto especificado!!
Opa, uma vez que conhecemos a definição da derivada podemos calcular os valores das derivadas pedidos no enunciado.
Passo 2
Vamos precisar calcular então nosso pra cada derivada pedida!
Então vamos calcular nossa primeira derivada!
Vamos resolver esse limite agora:
Note que podemos colocar esse pra dentro da raiz cúbica:
Você se lembra de um teorema que temos que relaciona sen(x)/x?
Opa, então isso quer dizer que
E portanto, temos que:
Logo,
Passo 3
De maneira análoga, temos que:
Novamente, vamos usar nossa tática da malandragem e colocar o denominador pra dentro da raiz cúbica.
Logo, não existe , uma vez que seu valor não é finito.
Passo 4
Note que nesse item 3 existe um intervalo aberto em torno de no qual a expressão de é obtida a partir de produtos e compostas de funções deriváveis em , permintindo aplicação das regras de derivação.
Aplicando a regra da cadeia na função dada no enunciado
Beleza, agora vamos fazer
Logo, temos: