UFES, 2018.1, Lista 6, Q06
06) Seja é diferenciável em é contínua em ?
Passo 1
Faaala galera do Responde Aí!!
Esse exercício é bem direto, ele nos dá uma função definida por partes e nos pede para verificar se é diferenciável e se é contínua no ponto .
Bom, para respondermos isso precisamos lembrar que uma função diferenciável em um ponto possui o seguinte limite como existente e finito:
Para que esse limite exista, os limites laterais precisam também ser iguais, ou seja:
Beleza, se isso for verdade então a gente já pode dizer que a função é diferenciável, aí já matamos metade da questão!
Pra responder a segunda parte, caso ela seja diferenciável, podemos, logo de cara, afirmar que ela também será contínua (isso é o que afirma um teorema bem importante da gente não esquecer).
Agora se ela não for diferenciável, vamos precisar recorrer aos nossos limites laterais para testar se a função vai ser contínua ou não.
Massa! Agora que já demos uma resumida na estratégia de resolução, bora pros cálculos!
Passo 2
Pra começar, vamos verificar a diferenciabilidade. Calculando o primeiro limite lateral, temos:
O problema, é que esse limite não é finito, isso por si só já significa que não é diferenciável em .
Não precisamos nem calcular o outro limite lateral, pois para ocorrer a diferenciabilidade a função precisa ter esses dois limites laterais finitos e iguais. Se uma dessas condições não for satisfeita, já dá ruim e ela não é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
Vamos agora verificar se ela é contínua.
Não podemos usar o nosso teorema, pois ele apenas afirma que se uma função é diferenciável, então ela é contínua. Mas, podem existir funções que não sejam diferenciáveis, mas sejam contínuas (exemplo: ).
Então, vamos precisar verificar se os limites laterais abaixo existem e são iguais:
Beleza, resolvendo o outro limite lateral:
Puts, os limites laterais são finitos mas são diferentes. Logo, também não é contínua em .
Resposta
não é diferenciável ou contínua em .