Seja tal que , para todo . Considere as seguintes afirmações:
- é contínua em
São verdadeiras as seguintes afirmações:
- Somente , e
- Todas
- Somente , e
- Somente e
- Somente e
Passo 1
Pra gente iniciar essa questão, vamos lembrar de uma propriedade muito importante das funções contínuas. Saca só, pra elas, vai sempre valer, pra qualquer que se escolha:
E se escolhermos ? Ficamos com:
Pelo Teorema do Confronto, dá pra tirar esse limite:
E logo:
A função é contínua em e vale . Tanto quanto são verdades.
Passo 2
Po, te falar, Teorema do Confronto vai cair muito bem pra provar, ou não né, as outras afirmações. Afinal, se dermos uma mexidinha na inequação...:
... Ai sim aparece o interior do limite da afirmação . Pelo teorema do confronto:
Como o limite da esquerda é o Limite Fundamental Trigonométrico:
Taí provada a afirmação
Passo 3
Mais uma vez vamos precisar do teorema do confronto. Sabe porque? Porque bem, pela definição de derivada:
Como quer saber se , vamos trocar por zero na definição acima:
E só pra ficar mais fácil de enxergar o que nós vamos fazer agora, troca aí o por :
E brincando uma última vez de Teorema do Confronto:
Puts, então essa afirmação está errada. O valor da derivada não deu o mesmo que o do enunciado. As afirmativas que estão corretas