Seja tal que , para todo . Considere as seguintes afirmações:
- é contínua em
São verdadeiras as seguintes afirmações:
- Somente , e
- Todas
- Somente , e
- Somente e
- Somente e
Passo 1
Bora lá. Pra gente começar a ver essa questão, vou lembrar de uma propriedade muito importante de funções contínuas. Pra toda função contínua, pra qualquer que se escolha, vale:
E nisso a gente já mata duas dessas afirmações! Porque saca só, se escolhermos , ficamos com:
E esse limite, pelo Teorema do Confronto, dá:
E logo:
A função é contínua em e vale . Tanto quanto são válidos.
Passo 2
E agora, acredite em mim, também vamos matar as outras duas afirmações de uma vez. Veja só, pela definição de derivada, temos:
Como quer saber se , vamos trocar por zero na definição acima:
Como vimos no passo anterior que ficamos com:
Pra ficar mais fácil de enxergar o que nós vamos fazer agora, troca o por :
E brincando de novo de Teorema do Confronto:
Aplicando o limite:
E taí provada a afirmação . A última que faltou, , a gente checa se é verdade retomando o Teorema do Confronto uma última vez. Se dividirmos por dos dois lados a inequação abaixo:
Fazendo o limite então, acaba que surge do lado esquerdo o limite fundamental trigonométrico. Resolvendo:
E show! Fechamos! Na verdade, todas as afirmações são verdadeiras!