Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , lembre que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a ,   f ( a ) ) é a (única) reta que passa pelo ponto ( a ,   f ( a ) ) e tem inclinação igual a

f ’ ( a )   =   lim x → a ⁡ f x - f ( a ) x - a

quando o limite existe. Neste caso, a equação da reta tangente y   =   y ( x ) é dada por y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a ) .

Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f   '   ( a ) em um ponto genérico. Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.

(d)   f ( x )   =   | x | ,   n o   p o n t o   ( 0 ,   f ( 0 ) )

Passo 1

Faaala galera, nesse exercício vamos calcular a reta tangente a uma função no ponto a ,   f a .

Estamos trabalhando com módulo, então vamos ter que estudar as situações de a > 0 e a < 0 , bem como seus limites. Além disso, vamos pensar na seguinte coisa que vai nos ajudar:

  1. Se x está tendendo a um valor a menor que zero, podemos dizer:
  2. | a |   =   - a                 e               | x |   =   - x

  3. Se x está tendendo a um valor a maior ou igual a zero, afirmamos:

| a |   =   a                 e               | x |   =   x

Agora sim, calculemos nossos limites, para a situação i e ii:

  1. f ’ a =   lim x → a ⁡ f x - f a x - a =   lim x → a ⁡ | x | - | a | x - a =   lim x → a ⁡ - x + a x - a =   lim x → a ⁡ - ( x - a ) x - a = - 1

f ’ a =   lim x → a ⁡ f x - f a x - a =   lim x → a ⁡ | x | - | a | x - a =   lim x → a ⁡ x - a x - a =   1

Passo 2

Pensemos que, se tendermos a 0 pela direita, temos o limite de resultado 1, mas se tendermos pela esquerda temos -1. Portanto, nossos limites laterais são diferentes e configuram que não há reta tangente nesse ponto.

Finalizamos o/

Resposta

(d)   f ' a = 1   se   a ≥ 0   e   f ' a =   - 1     se   a < 0 ; a reta tangente não existe no ponto ( f ( 0 ) , 0 ) .

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