Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (Veja Texto 2) Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. (Veja vídeo)
- f(x) =, a = 4
Passo 1
Então galerinha, suave? Primeiramente, a questão nos pede para calcular a derivada da função usando a definição, daí, basta a gente lembrar a definição de derivada, que é:
f ’(x) =
Pois bem, agora que temos a fórmula, vamos atrás dos valores para substituir na equação e desenvolvermos para acharmos o limite que que representa a derivada da equação:
Agora, basta substituir na fórmula e desenvolvermos esse limite, que ficará:
(I)
Passo 2
Chegamos nessa equação (I), pois agora vamos simplifica-la. Para retirarmos o h do denominador que o torna nulo, para que a gente não caia numa indeterminação. Então começaremos multiplicando pelo complemento do numerador, tanto o numerador quanto o denominador:
=
Perfeito, nos livramos do h que tornaria nosso denominador nulo, agora basta aplicarmos o valor de h e calcularmos o limite, irá ficar assim:
(II)
Passo 3
Agora vamos para o segundo ponto da questão que é determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. Então vamos primeiro lembrar a equação da reta tangente? A equação da reta tangente é a seguinte:
Onde o coeficiente angular m é, exatamente, o que a gente chama de derivada da função no ponto, mas que ponto? Para essa questão o ponto a = 4. É o mesmo que f’(a), sendo mais específico f’(4). Então vamos calcular o valor da derivada no ponto a = 4. Nós já temos a função derivada, que foi encontrada mais acima, que representamos por (II), logo, basta substituirmos o valor de x por 4.
Passo 4
Achamos o valor de m, agora só aplicarmos na fórmula, junto ao ponto (a, f(a)), que são os seguintes:
Pronto, encontramos todos os valores necessários para substituir na equação, então vamos para a substituição e desenvolver a expressão que encontrarmos:
E é isso, finalizamos a questão, por fim, encontramos o valor da reta tangente.
Resposta
c) f’(x) = (derivada da função encontrada pela definição);
(equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) ∴ (4, ) ).