Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (Veja Texto 2) Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. (Veja vídeo)

  1. f(x) = x , a = 4

Passo 1

Então galerinha, suave? Primeiramente, a questão nos pede para calcular a derivada da função usando a definição, daí, basta a gente lembrar a definição de derivada, que é:

f ’(x) = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Pois bem, agora que temos a fórmula, vamos atrás dos valores para substituir na equação e desenvolvermos para acharmos o limite que que representa a derivada da equação:

  1. f ( x + h ) = x + h
  2. f x =   x

Agora, basta substituir na fórmula e desenvolvermos esse limite, que ficará:

lim ⁡ h → 0 ⁡ x + h -   x h (I)

Passo 2

Chegamos nessa equação (I), pois agora vamos simplifica-la. Para retirarmos o h do denominador que o torna nulo, para que a gente não caia numa indeterminação. Então começaremos multiplicando pelo complemento do numerador, tanto o numerador quanto o denominador:

l i m h → 0 x + h   -   x h   .   x + h   +   x x + h   +   x = l i m h → 0 x + h - x h . ( x + h   +   x =

  l i m h → 0 1 x + h   +   x

Perfeito, nos livramos do h que tornaria nosso denominador nulo, agora basta aplicarmos o valor de h e calcularmos o limite, irá ficar assim:

l i m h → 0 1 x + h   +   x =   1 x + 0   +   x =   1 2 x (II)

Passo 3

Agora vamos para o segundo ponto da questão que é determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. Então vamos primeiro lembrar a equação da reta tangente? A equação da reta tangente é a seguinte:

y - f a = m   .   ( x - a )

Onde o coeficiente angular m é, exatamente, o que a gente chama de derivada da função no ponto, mas que ponto? Para essa questão o ponto a = 4. É o mesmo que f’(a), sendo mais específico f’(4). Então vamos calcular o valor da derivada no ponto a = 4. Nós já temos a função derivada, que foi encontrada mais acima, que representamos por (II), logo, basta substituirmos o valor de x por 4.

m = f ' 4 =   1 2 x =   1 2 4 =   1 2.2 =   1 4

Passo 4

Achamos o valor de m, agora só aplicarmos na fórmula, junto ao ponto (a, f(a)), que são os seguintes:

  • a =   4
  • f a = f 4 = 4 = 2

Pronto, encontramos todos os valores necessários para substituir na equação, então vamos para a substituição e desenvolver a expressão que encontrarmos:

y - 2 =   1 4   . x - 4 =   x 4 - 1 +   2

y =   x 4 + 1

E é isso, finalizamos a questão, por fim, encontramos o valor da reta tangente.

Resposta

c) f’(x) = 1 2 x (derivada da função encontrada pela definição);

y =   x 4 + 1 (equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) ∴ (4, 2 ) ).

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