Usando a definição, calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (Veja Texto 2) Em seguida, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. (Veja vídeo)
- f(x) =, a = 1
Passo 1
Então galerinha, suave? Primeiramente, a questão nos pede para calcular a derivada da função usando a definição, daí, basta a gente lembrar a definição de derivada, que é:
f ’(x) =
Pois bem, agora que temos a fórmula, vamos atrás dos valores para substituir na equação e desenvolvermos para acharmos o limite que que representa a derivada da equação:
Agora, basta substituir na fórmula e desenvolvermos esse limite, que ficará:
(I)
Passo 2
Chegamos nessa expressão (I), pois agora vamos simplificar o numerador. Para tornar mais fácil a manipulação desse limite. Chamaremos a expressão do numerador de A. Então começaremos multiplicando pelo conjugado do numerador:
A = = =
Certo, agora devolvemos esse valor para o numerador:
pela propriedade de frações: , iremos fazer o seguinte:
(II)
Encontramos o limite da expressão (II), agora parecido com o que fizemos com o numerador em (I), iremos fazer com o denominador dessa expressão (II), chamando-o de B.
B = = =
B = , certo, agora vamos devolver esse valor para o denominador da expressão (II):
=
(III)
Aplicando o limite na expressão (III):
=
Passo 3
Agora vamos para o segundo ponto da questão que é determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), para o valor de a indicado. Então vamos primeiro lembrar a equação da reta tangente? A equação da reta tangente é a seguinte:
Onde o coeficiente angular m é, exatamente, o que a gente chama de derivada da função no ponto, mas que ponto? Para essa questão o ponto a = 1. É o mesmo que f’(a), sendo mais específico f’(1). Então vamos calcular o valor da derivada no ponto a = 1. Nós já temos a função derivada, que foi encontrada mais acima, que representamos por (II), logo, basta substituirmos o valor de x por 1.
Passo 4
Achamos o valor de m, agora só aplicarmos na fórmula, junto ao ponto (a, f(a)), que são os seguintes:
Pronto, encontramos todos os valores necessários para substituir na equação, então vamos para a substituição e desenvolver a expressão que encontrarmos:
E é isso, finalizamos a questão, por fim, encontramos o valor da reta tangente.
Resposta
d) f’(x) = (derivada da função encontrada pela definição);
(equação da reta tangente no ponto (a,f(a)) ∴ (1,) ).