Use a definição de derivada para encontrar as funções f ' e seu domínio:

(a) f x = 3 - 5 x

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos lembrar da definição de derivada?

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

  1. f x = 3 - 5 x

Pela definição

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 - 5 ( x + h ) - 3 - 5 x h

Note que temos uma indeterminação nesse rolê, né? Então vamos precisar fazer nossas “magias” matemáticas.

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 - 5 ( x + h ) - 3 - 5 x h × 3 - 5 x + h + 3 - 5 x 3 - 5 x + h + 3 - 5 x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 3 - 5 x - 5 h - ( 3 - 5 x ) h 3 - 5 x + h + 3 - 5 x = - 5 h h 3 - 5 x + h + 3 - 5 x

f ' x = l i m h → 0 - 5 3 - 5 x + h + 3 - 5 x

Agora aplicando o limite:

f ' x = - 5 3 - 5 x + 3 - 5 x = - 5 2 3 - 5 x

Passo 3

Pronto, derivada calculada, agora vamos aos domínios!

Bom, o domínio de f ' x = - 5 2 3 - 5 x tem a restrição de que o radicando não pode ser negativo, então:

3 - 5 x ≥ 0

- 5 x ≥   - 3

x ≤ 3 5

Sendo assim, o D o m f ' x = - ∞ , 3 5

Resposta

f ' x = - 5 2 3 - 5 x

D o m f ' x = - ∞ , 3 5

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