Use a definição de derivada para encontrar as funções f ' e seu domínio:

f x = x 3 2

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos lembrar da definição de derivada?

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

  1. f x = x 3 2

Pela definição

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 2 - x 3 2 h

Note que temos uma indeterminação nesse rolê, né? Então vamos precisar fazer nossas “magias” matemáticas.

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 2 - x 3 2 h × x + h 3 2 + x 3 2 x + h 3 2 + x 3 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h x + h 3 2 + x 3 2

f ' x = l i m h → 0 x 3 + x 2 h + 2 x h + 2 x h 2 + h 2 + h 3 - x 3 h x + h 3 2 + x 3 2

f ' x = l i m h → 0 x 2 + 2 x 2 + 2 x h + h + h 2 x + h 3 2 + x 3 2

Aplicando o limite agora:

f ' x = x 2 + 2 x 2 x 3 2 + x 3 2

f ' x = 3 x 2 2 x 3 2

f ' x = 3 2 x 1 2

Passo 3

Pronto, derivada calculada, agora vamos aos domínios!

Bom, o domínio de f ' ( x ) = 3 2 x 1 2 tem a restrição de que o radicando deve ser maior que zero, certo? Afinal, x 1 2 = x

x ≥ 0

Sendo assim, o D o m f ' x = [ 0 , ∞ )

Resposta

f ' x = 3 2 x 1 2

                                                                                      D o m f ' x = [ 0 , ∞ )

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