Use a definição de derivada para encontrar as funções f ' e seu domínio:

f x = x 3 - 3 x + 5  

Passo 1

Fala aí, galera!!! Tranquilidade aí com vocês?

Vamos lembrar da definição de derivada?

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

  1. f x = x 3 2

Pela definição

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - 3 x + h + 5 - ( x 3 - 3 x + 5 ) h

Note que temos uma indeterminação nesse rolê, né? Então vamos precisar fazer nossas “magias” matemáticas.

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 3 + h 3 + 3 x h 2 + 3 x 2 h - 3 x - 3 h + 5 - x 3 + 3 x - 5 h

Agora, partiu cortar o que a gente consegue!!!

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 3 + 3 x h 2 + 3 x 2 h - 3 h h

Hummmm olha que maravilha, o h aparece em todos os termos do polinômio do numerador. Isso é ótimo!!! Porque a gente consegue colocar ele em evidência e cortar com o h do denominador.

f ' x = l i m h → 0 h ( h 2 + 3 x h + 3 x 2 - 3 ) h

f ' x = l i m h → 0   h 2 + 3 x h + 3 x 2 - 3

Aplicando o limite agora:

f ' x = 3 x 2 - 3

Passo 3

Pronto, derivada calculada, agora vamos aos domínios!

Bom, o domínio de f ' x = 3 x 2 - 3 , que é uma função quadrática, são os reais, certo? Afinal para qualquer valor de x , f ' ( x ) existirá sem qualquer restrição dentro dos reais.

Sendo assim, o D o m f ' x = R

Resposta

f ' x = 3 x 2 - 3

                                                                                      D o m f ' x = R

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