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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 1 – Lista 3 – Questão 1b

Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0 , f x 0

b)

f x = x 2 + 4   e   x 0 = 5

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos primeiro entender o que esse enunciado louco tá querendo dizer pra gente, beleza?

Bem, o mais importante é a gente lembrar a definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E agora lembrar qual é a fórmula da reta tangente em um dado ponto.

y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Vamos então fazer por etapa essa questão, primeiro fazendo sua derivada e depois encontrando a reta tangente.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada, vamos ter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 + 4 - x 2 + 4 h = x 2 + 2 x h + h 2 + 4 - x 2 + 4 h

Vamos precisar desenvolver isso pra sairmos da indeterminação, então vamos aplicar o método do conjugado nesse limite, beleza?

x 2 + 2 x h + h 2 + 4 - x 2 + 4 h × x 2 + 2 x h + h 2 + 4 + x 2 + 4 x 2 + 2 x h + h 2 + 4 + x 2 + 4

x 2 + 2 x h + h 2 + 4 - x 2 - 4 h x 2 + 2 x h + h 2 + 4 + x 2 + 4 = 2 x h + h 2 h x 2 + 2 x h + h 2 + 4 + x 2 + 4

Aplicando a definição:

lim h → 0 ⁡ 2 x + h x 2 + 2 x h + h 2 + 4 + x 2 + 4 = 2 x 2 x 2 + 4

Passo 3

Agora vamos encontrar nossa reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

O enunciado nos deu o valor de x 0 = 2 , então vamos encontrar o valor de f ( x 0 ) e f ' x 0

f x 0 = 5 = 5 2 + 4 = 3

f ' x 0 = 5 = 2 5 2 5 2 + 4 = 2 5 6 = 5 3

Substituindo na definição, temos:

y - 3 = 5 3 x - 5 = 5 3 x - 5 3

y = 5 3 x - 5 3 + 3  

y = 5 3 x + 4 3

y = 5 x + 4 3

Resposta

f ' x = 2 x 2 x 2 + 4

y = 5 x + 4 3

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