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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 2 - Derivadas, Questão 1d

1 - Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

d) f x = 4 x 5 - x 4 - 3 x 2 - 2 , em a = 1 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, queremos aplicar a definição de derivada para obter a derivada da função f x = 4 x 5 - x 4 - 3 x 2 - 2 no ponto a = 1 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

A derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função em relação a sua variável independente, no caso “ x ”.

O cálculo da definição de derivada é dado pela fórmula

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então primeiro podemos encontrar a derivada de f e depois substituir no ponto a .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se f x = 4 x 5 - x 4 - 3 x 2 - 2 , então f x - h = 4 x + h 5 - x + h 4 - 3 x + h 2 - 2

Substituindo na definição...

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x + h 5 - x + h 4 - 3 x + h 2 - 2 - 4 x 5 - x 4 - 3 x 2 - 2 h

Precisamos desenvolver os expoentes, ou seja

x + h 5 = x 5 + 5 x 4 h + 10 x 3 h 2 + 10 x 2 h 3 + 5 x h 4 + h 5

x + h 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4

x + h 2 = x 2 + 2 x h + h 2

Substituindo em f ' x

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x 5 + 5 x 4 h + 10 x 3 h 2 + 10 x 2 h 3 + 5 x h 4 + h 5 - x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 - 3 x 2 + 2 x h + h 2 - 2 - 4 x 5 - x 4 - 3 x 2 - 2 h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 4 x 5 + 20 x 4 h + 4 0 x 3 h 2 + 4 0 x 2 h 3 + 20 x h 4 + 4 h 5 - x 4 - 4 x 3 h - 6 x 2 h 2 - 4 x h 3 - h 4 - 3 x 2 - 6 x h - 3 h 2 - 2 - 4 x 5 + x 4 + 3 x 2 + 2 h

Perceba que podemos simplificar alguns termos como por exemplo 4 x 5 , x 4 , 3 x 2 e 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ 20 x 4 h + 40 x 3 h 2 + 40 x 2 h 3 + 20 x h 4 + 4 h 5 + 4 x 3 h - 6 x 2 h 2 - 4 x h 3 - h 4 - 6 x h - 3 h 2 h

Colocando h em evidência, podemos simplificar com o denominador

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 20 x 4 + 40 x 3 h + 40 x 2 h 2 + 20 x h 3 + 4 h 4 + 4 x 3 - 6 x 2 h - 4 x h 2 - h 3 - 6 x - 3 h h

f ' x = 20 x 4 + 40 x 3 h + 40 x 2 h 2 + 20 x h 3 + 4 h 4 + 4 x 3 - 6 x 2 h - 4 x h 2 - h 3 - 6 x - 3 h

E finalmente, aplicando o limite fazendo h = 0 ...

f ' x = 20 x 4 + 40 x 3 0 + 40 x 2 0 2 + 20 x 0 3 + 4 0 4 + 4 x 3 - 6 x 2 0 - 4 x 0 2 - 0 3 - 6 x - 3 0

f ' x = 20 x 4 - 4 x 3 - 6 x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora que já obtemos a derivada geral da função f x , podemos simplesmente aplicar o ponto a em f ' x .

Substituindo x por 1 , temos

f ' 1 = 20 1 4 - 4 1 3 - 6 1

f ' 1 = 10

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 20 x 4 - 4 x 3 - 6 x ,     f ' 1 = 10

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