Considere um fio condutor envolvido por uma camada cilíndrica condutora coaxial ao fio, de raio interno e raio externo (a região logo ao redor do fio, até a distância , é vácuo). O fio é percorrido pr uma corrente , e a camada é percorrida por uma corrente uniformemente distribuída, na mesma direção de , mas com sentido oposto. Considere o fio e a camada como sendo muito longos.

a) Calcule a densidade de corrente na camada cilíndrica.

Calcule o módulo do campo magnético a uma distância do fio (eixo da camada), tal que:

b) .

c) .

d) .

Vamos colocar isso na nossa integral:

E a densidade de corrente é constante ao longo de toda a superfície (que é aquele anel pintado de vermelho no desenho). Então podemos tirar da integral:

Agora essa integral virou simplesmente a área da superfície :

Só o que a gente fez aí foi usar a fórmula para área do círculo. Sabendo que o círculo de fora tem área e o círculo de dentro tem área .

Agora é só isolar :

Beleza, qual é o próximo passo? O enunciado quer que a gente calcule o campo magnético produzido pela corrente no fio.

Vamos começar entendendo do que ele está falando.

Quando um fio é percorrido por uma corrente, surge um campo magnético em torno dele. A direção dele segue essa regra aqui:

Pra lembrar disso é só apontar seu polegar direito na direção da corrente: a direção em que seus outros dedos se curvam para fechar a mão é a “direção” do campo.

Atenção, isso é só uma forma de lembrar, o vetor campo magnético na verdade é tangente a essa trajetória em cada ponto:

A equação que dá a intensidade desse campo é a lei de Ampére:

Vamos ver como se usa essa equação na prática.

(b) Primeiro queremos calcular o campo magnético quando . Lembrando que aqui é a distância radial até o centro do fio.

Então tá, o primeiro passo pra usar a lei de Ampére é escolher uma curva para a nossa integral.

Como a gente quer considerar a região , vamos escolher uma circunferência que tem um raio nesse intervalo. Olhando de cima, vamos ficar com algo assim:

Então vamos voltar para a integral:

A corrente no fio está apontando para cima, então (como a gente mostrou no passo anterior) a direção do campo vai ficar assim:

Se a nossa integral percorrer a curva no sentido anti-horário, então o elemento de comprimento vai sempre ter a mesma direção e sentido do campo:

Substituindo na integral:

O campo é o mesmo em todos os pontos da curva, então:

Agora essa integral do lado esquerdo é simplesmente o comprimento da circunferência :

O é a corrente total que atravessa a circunferência. Nesse caso, essa é a corrente que passa no fio, então:

E o vetor campo magnético é simplesmente esse módulo apontando na direção tangente à circunferência que a gente construiu. Vamos chamar essa direção de ( de “normal” à trajetória), então:

Obs.: O enunciado pediu só o módulo do campo, mas precisamos da forma vetorial pra poder usar no próximo item.

(c) Agora a gente quer fazer a mesma coisa, mas para uma região maior:

Ou seja, agora estamos procurando o campo na região dentro da camada cilíndrica.

Bom, o campo gerado pelo fio continua o mesmo, então isso aqui continua valendo:

Mas tem mais campo nessa história! O campo gerado pela corrente que passa na camada cilíndrica: vamos pensar só nele agora.

Tá, todo aquele raciocínio de antes continua valendo: vamos escolher uma curva na região que foi pedida:

O que vai mudar agora em relação à conta que a gente fez antes?

Primeiro: a corrente que atravessa a camada está apontada para baixo! Então o campo produzido por ela está no sentido horário, e a gente optou por percorrer a curva no sentido anti-horário, então:

Ou seja:

Ok, agora vem a segunda diferença: qual é a corrente total que atravessa a nossa curva ?

Bom, a gente já considerou a corrente que passa pelo fio, então vamos olhar só a corrente que vem da camada mesmo.

Lá no item (a) nós calculamos a densidade de corrente na camada:

Se você multiplicar essa densidade de corrente pela área da camada que está contida na nossa curva , vamos ter a corrente total que atravessa a curva!

Olhando pelo desenho ali de cima, dá pra ver que a área da camada (parte cinza), dentro da curva é:

Então:

Substituindo com a fórmula da densidade :

Substituindo na fórmula lá de cima:

Assim como fizemos antes, a versão “vetorial” desse campo é:

Agora é só juntar com o campo produzido pelo fio para achar o campo total nessa região:

Simplificando um pouco:

E o módulo do campo magnético nessa região (como foi pedido) é:

Pronto!

(c) Beleza, agora só falta calcular o campo do lado de fora do conjunto todo:

Vamos dar mais uma olhada na equação que a gente escreveu para a região :

Quando a gente estiver bem na borda da região, onde , olha o que acontece com o campo:

E conforme o raio aumenta ainda mais, a quantidade de corrente envolvida naquela nossa curva não vai mudar!

Ou seja, o campo é:

E tem módulo: