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Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart Geral

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Enunciado

Considere o circuito da figura abaixo, composto por dois lados retilíneos e dois arcos de círculo, ambos definidos por um ângulo θ .

O menor arco está a uma distância a do ponto P e o maior a uma distância b do mesmo ponto P . O circuito é percorrido por uma corrente I no sentido anti-horário.

Assinale a opção que especifica corretamente o vetor campo magnético resultante em P .

a μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 2 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

b μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 4 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

c μ 0 I θ   ( a + b ) / ( 2 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

d μ 0 I θ   ( a + b ) / ( 4 π a b ) , perpendicular ao plano da página e saindo da página.

e μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 2 a b ) , perpendicular ao plano da página e saindo da página.

Passo 1

O campo magnético formado por arcos podem ser calculados a partir da Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π I ∫ fio   d l → × r ^ r 2

  • Arco maior:

    • No caso desse arco, o produto vetorial será dado por:

    d l → × r ^ = d l z ^

    Substituindo, tiramos - z ^ fora da integral:

    B → = μ 0 4 π I z ^ ∫ fio   d l r 2

    Além disso, temos que nesse caso o r é constante:

    r = b

    B → = μ 0 4 π b 2 I z ^ ∫ fio   d l

    Enquanto a integral de d l é o comprimento do fio:

    B → = μ 0 4 π b 2 I z ^ θ b

    B → = μ 0 I θ 4 π b z ^

    Passo 2

  • Arco menor:

No caso desse arco, o produto vetorial será dado por:

d l → × r ^ = d l - z ^

Substituindo, tiramos - z ^ fora da integral:

B → = - μ 0 4 π I z ^ ∫ fio   d l r 2

Além disso, temos que nesse caso o r é constante:

r = a

B → = - μ 0 4 π a 2 I z ^ ∫ fio   d l

Enquanto a integral de d l é o comprimento do fio:

B → = - μ 0 4 π a 2 I z ^ θ a

B → = - μ 0 I θ 4 π a z ^

Passo 2

Nos casos dos fios retilíneos, d l → e r ^ são paralelos, logo:

d l → × r ^ = 0

B → = 0

Passo 3

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = μ 0 I θ 4 π b z ^ - μ 0 I θ 4 π a z ^

B → = μ 0 I θ 4 π 1 b - 1 a z ^

B → = - μ 0 I θ b - a 4 π a b z ^  

Entrando na página.

Resposta

b μ 0 I θ   ( b - a ) / ( 4 π a b ) , perpendicular ao plano da página e entrando na página.

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