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Exercícios Resolvidos de Lei de Biot-Savart Geral

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Enunciado

Dois fios muito longos são percorridos por correntes elétricas estacionárias de mesma intensidade. Cada um de tais fios é constituído por dois segmentos retilíneos (muito longos) e por um arco circular intermediário (com abertura de 90 º ); os raios de tais arcos são tais que R I I > R V . Qual dos segmentos dá maior contribuição para o campo magnético resultante B → C no ponto central C ?

  1. II
  2. V
  3. I e III
  4. IV e VI
  5. Todos contribuem igualmente para B → ( C ) .

Passo 1

Pela lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ f i o I d l → × r ^ r 2

Primeiramente fazemos os produtos vetoriais dos fios retilíneos e mostramos que eles fazem campo nulo:

Passo 2

Agora vamos fazer os segmentos circulares. Sabemos que em cada um deles temos r = R constante e a corrente também:

B → = μ 0 I 4 π R 2 ∫ f i o d l → × r ^

Seja z ^ o sentido saindo da tela. Fazendo o produto vetorial para um segmento semicircular genérico:

Temos:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ ∫ f i o d l

O comprimento é um quarto de circunferência:

B → = μ 0 I 4 π R 2 z ^ 2 π R 4

B → = μ 0 I 8 R z ^

Passo 3

Portanto, para cada um dos segmentos temos:

B → V = μ 0 I 8 R V z ^

B → I I = μ 0 I 8 R I I z ^

Agora queremos saber quem dá mais. Como: R I I > R V

Segue:

1 R I I < 1 R V

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por μ 0 I / 8 :

μ 0 I 8 R I I < μ 0 I 8 R V

B I I < B V

Ou seja, o segmento V é quem dá mais.

Resposta

Letra b

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