Considere uma espira quadrada de lado 2 a percorrida por uma corrente I . A espira se encontra no plano x y , conforme a figura.

c ) Determine o campo magnético produzido pela espira no seu centro P = ( 0 ,   a ,   0 ) .

Sugestão: Calcule o campo produzido pelo lado 1 e use a simetria do problema.

Passo 1

c ) Determine o campo magnético produzido pela espira no seu centro P = ( 0 ,   a ,   0 ) .

Vamos usar a sugestão do problema e calcular o campo magnético apenas do fio 1.

Nesse caso, vamos ter que recorrer à Lei de Biot-Savart:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Como a corrente é constante, podemos simplificar a equação para:

B → = μ 0 I 4 π ∫ corpo   d l → × r ^ r 2

Pra começar, vamos dar uma olhada nos vetores d l → e r ^ . Lembrando que d l → está sempre na direção e sentido da corrente.

Na figura acima podemos ver que d l → = d x   i → . Além disso:

d l → × r ^ = d x sen ⁡ ϕ k →  

sen ⁡ ϕ = a r

d l → × r ^ = a   d x r   k →  

- a ≤ x ≤ a

Agora sim, podemos voltar para a Lei de Biot-Savart:

B → 1 → = μ 0 I 4 π ∫ corpo   d l → × r ^ r 2

B → 1 → = μ 0 I 4 π ∫ - a a a   d x r 3   k →

B → 1 → = μ 0 I a 4 π ∫ - a a d x r 3   k →

Onde:

r = x 2 + a 2

Logo:

B → 1 = μ 0 I a 4 π ∫ - a a d x x 2 + a 2 3 / 2   k →

Caiu nessa integralzinha marota?! Ela costuma aparecer bastante nesse tipo de questão em que o problema te pede pra calcular o campo magnético de um fio finito.

Relaxa, obviamente ela tem uma solução, e se ela aparecer na sua prova, a solução dela provavelmente estará no seu formulário. Vou facilitar a nossa vida aqui e colocar logo a solução dela:

B → 1 = μ 0 I a 4 π x a 2 x 2 + a 2 - a a   k →

Substituindo os valores:

B → 1 = 2 μ 0 I 4 π a   k →

Pela simetria do problema, o campo magnético gerado pelos 4 fios retilíneos serão iguais, logo:

B → = 4 B → 1

B → = 2 μ 0 I π a   k →

Resposta

c )

B → = 2 μ 0 I π a   k →

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