Um fio condutor fino, retilíneo e infinito é dobrado de forma que suas duas metades formam um ângulo 2 θ entre si, como mostrado na figura abaixo. O fio é atravessado por uma corrente estacionária de intensidade I no sentido indicado. Utilizando a lei de Biot-Savart e o sistema de coordenadas indicado na figura, determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) no ponto P mostrado na figura, localizado a uma distância d do ponto de dobra, ao longo da reta bissetriz do ângulo 2 θ . Analise e interprete o caso limite θ = π / 2 .

Passo 1

Pela simetria do problema, vemos que o campo magnético resultante produzido por cada metade do fio deve ser o mesmo no ponto P . Assim sendo, vamos considerar apenas uma das metades e multiplicado o resultado final por 2 . Escolhemos a metade direita do fio.

Vamos olhar para o sistema em um novo ângulo: giramos a figura no sentido anti-horário para que a metade direita do fio fique na horizontal. Consideramos, agora, um elemento de comprimento infinitesimal d l → , orientado no sentido da corrente. Esse elemento está a uma distância s da projeção de P pela reta que passa pelo fio, como podemos ver na figura.

Passo 2

Pela lei de Biot-Savart, a contribuição de d l → para o campo magnético em P é dada por:

d B → = μ 0 I 4 π d l → × r ^ r 2 = μ 0 I 4 π d s sen ⁡ α r 2 k ^ .

Pela figura, vemos que r 2 = s 2 + d sen ⁡ θ 2 e sen ⁡ α = d sen ⁡ θ / r , de modo que:

d B → = μ 0 I 4 π d s   d sen ⁡ θ s 2 + d sen ⁡ θ 2 3 2 k ^ .  

Passo 3

Assim, o campo magnético resultante será:

B → = ∫ d B → = 2 μ 0 I d sen ⁡ θ 4 π k ^ ∫ d cos ⁡ θ ∞ d s s 2 + d sen ⁡ θ 2 3 2 .

Aqui, estamos considerando apenas a metade direita do fio e incluímos o fator dois para contar as duas partes.

Bem... e agora? No formulário da prova, temos a solução da seguinte integral:

∫ d x x 2 + u 2 3 / 2 = x u 2 u 2 + x 2 + K .

Se fizermos s = x e u = d sen ⁡ θ , conseguimos usar a fórmula acima para resolver a integral. Temos:

B → = μ 0 I d sen ⁡ θ 2 π k ^ s d sen ⁡ θ 2 s 2 + d sen ⁡ θ 2 d cos ⁡ θ ∞ ,

B → = μ 0 I 2 π 1 - cos ⁡ θ d sen ⁡ θ k ^ .

Passo 4

Para θ = π / 2 , vemos que:

B → = μ 0 I 2 π d k ^ ,

que nada mais é que o campo produzido por um fio retilíneo e infinito situado a uma distância d do ponto P . Isso era esperado, pois para θ = π / 2 , o fio não está dobrado e é retilíneo e infinito.

Resposta

B → = μ 0 I 2 π 1 - cos ⁡ θ d sen ⁡ θ k ^ .

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