UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 6 – Questão 15
Uma haste metálica delgada, de comprimento e massa , pode girar livremente em torno de um eixo horizontal, que a atravessa perpendicularmente, à distância de uma extremidade. A haste é solta a partir do repouso, na posição horizontal.
(a) Calcule o momento de inércia da haste, com respeito ao eixo em torno da qual ela gira.
(b) Calcule a velocidade angular adquirida pela haste após ter caido de um ângulo , bem como a aceleração .
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo certinho? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!
Temos uma haste que inicialmente está na horizontal e é solta a partir do repouso. Com isso, ela faz o movimento de rotação. Mas a rotação não é em torno de seu centro de massa, então o momento de inércia precisa ser calculado.
E é isso que ele pede na letra (a). Então nossa primeira missão é encontrar o momento de inércia dessa barra
Na letra (b) ele pede para calcularmos a velocidade e aceleração angular, depois de ter percorrido um deslocamento . Bom, aqui vamos usar a conservação de energia e a definição de torque
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a) Em primeiro lugar é pedido pra calcularmos o momento de inércia da haste. Para isso vamos dividir em duas partes a partir do eixo de rotação
Mas antes precisamos fazer um desenho.
Pra calcular o momento de inércia vamos primeiro fazer o seguinte:
E aí aplicaremos o que foi falado antes:
O momento de inércia de uma barra é:
Para a parte com distância :
Para a parte com distância :
Logo,
Como :
Beleza? Essa é o momento de inércia dessa barra!
Passo 3
Letra (b) Como a única força que atua sobre o sistema (a gravidade) é conservativa, podemos aplicar a conservação de energia para achar a velocidade angular!
Aqui temos apenas energia cinética e potencial
Inicialmente a barra está parada e só tem energia potencial gravitacional então:
O centro de massa desse uma distância como se pode ver aqui nesse desenho:
Então essa será nossa altura de referência para a energia potencial inicial:
Vamos dizer que toda energia potencial foi convertida em energia cinética de rotação, pois não houve dissipação
Beleza?
Passo 4
E no final a barra se move com velocidade angular , sendo assim:
Colocando os termos na equação, temos:
Agora vamos usar o resultado do item anterior para o momento de inércia da haste:
Agora é só substituir e isolar :
Daí
certo?
Agora vamos calcular a aceleração!
Passo 5
E a aceleração angular pode ser encontrada pela segunda lei de newton para rotações:
Aqui temos apenas a força peso produzindo torque nessa barra, e a definição de torque é o produto da força pelo braço de alavanca:
O braço de alavanca é a distância da linha de atuação da força (linha fina azul na vertical) e o eixo de rotação. No nosso desenho ali em cima é a distância em vermelho! E a força é a peso, representada pelo vetor em verde.
E assim a segunda lei fica:
A força é o peso , o braço de alavanca é , o momento de inércia da haste nós já calculamos, então é só substituir:
Fazendo as simplificações:
Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado!
Resposta
- e