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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

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Enunciado

PUC-RIO – Física 3 2020.1 – P3– Questão 4

O anel de raio R mostrado na Figura 1 contém uma carga total q uniformemente distribuída.

a) Determine uma expressão para o potencial elétrico devido ao anel em um ponto qualquer do eixo z ’ ;

b) Determine o potencial elétrico devido à casca cilíndrica de r a i o   R e a l t u r a   2 L carregada com uma densidade superficial de carga σ   ( A / m 2 ) uniforme, mostrada na Figura 2, no ponto z ( >   L ) do mesmo eixo;

R   e altura   2 L carregada com uma densidade superficial de carga σ   ( A / m 2 )     uniforme, mostrada na Figura 2, no ponto z   ( >   L ) do mesmo eixo.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

O diferencial do potencial elétrico no ponto z ' devido a um elemento de carga d q situado no anel é:

d V z ' = 1 4 π ϵ 0 d q r = 1 4 π ϵ 0 d q z ' 2 + R 2 1 / 2

Logo, o potencial elétrico nesse ponto é a integral em toda carga:

∫ a n e l d V z ' = V z ' = 1 4 π ϵ 0 q z ' 2 + R 2 1 / 2

Passo 2

Letra (b):

Agora vamos considerar um anel elementar paralelo à base da casca esférica, de altura d z ' e situado na altura z ' . A carga deste anel elementar é d q = σ ( 2 π R d z ' ) . Assim, com base na resposta que a gente achou no item anterior, o diferencial do potencial elétrico é:

d V z ' = 1 4 π ϵ 0 d q r = 1 4 π ϵ 0 σ ( 2 π R d z ' ) ( z - z ' ) 2 + R 2 1 / 2

E o potencial pode ser determinado integrando essa expressão entre os limites – L até + L :

∫ - L L d V z ' = ∫ - L + L 1 4 π ϵ 0 σ ( 2 π R d z ' ) ( z - z ' ) 2 + R 2 1 / 2

E usando uma tabela de integrais chegamos a :

V z = σ R 2 ϵ 0 ln ⁡ z + L + z + L 2 + R 2   – ln ⁡ z - L + z + L 2 + R 2      

Tranquilo? Vamos para o último item?

Passo 3

Letra (c):

E agora o campo elétrico pode ser encontrado derivando o potencial em relação a z :

E → = - d V d z z ^

E → = σ R 2 ϵ 0 1 + 1 2 2 z - L z - L 2 + R 2 z - L 2 + R 2 - 1 + 1 2 2 z + L z + L 2 + R 2 z + L 2 + R 2  

E → = σ R 2 ϵ 0 1 z - L 2 + R 2 - 1 z + L 2 + R 2 z ^

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) V z ' =   1 4 π ϵ 0 q z ' 2 + R 2 1 / 2

b ) V z = σ R 2 ϵ 0 ln ⁡ z + L + z + L 2 + R 2   – ln ⁡ z - L + z + L 2 + R 2      

c ) E → = σ R 2 ϵ 0 1 z - L 2 + R 2 - 1 z + L 2 + R 2 z ^

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