Considere um disco de raio com uma carga uniformemente distribuída.

a) Calcule o potencial num ponto do eixo do disco, a uma distância do centro.

b) Qual é a diferença de potencial entre o centro do disco e um ponto sobre seu eixo a uma distância do centro?

c) Utilizando a relação entre campo elétrico e o potencial, deduza uma expressão para o campo elétrico do disco no ponto do item (a).

d) Qual é o trabalho necessário para trazer uma carga de prova desde o infinito até o centro do disco?

Dado: potencial de um anel com carga , em um ponto do eixo do anel, a uma distância do centro:

Agora, pra encontrar o potencial gerado pelo disco, é só integrar esse conjunto de anéis:

Com variando de até :

Tirando as constantes:

E usando essa fórmula aqui:

Ou seja:

Como :

Substituindo :

Então o potencial devido ao disco é:

(b) Quando estamos no centro do disco, o potencial é :

E quando estamos a uma distância do centro:

Cortando o :

Então a diferença de potencial entre os dois pontos é:

(c) Agora queremos descobrir o campo elétrico do disco no ponto .

Não tem segredo, é só lembrar da relação do campo elétrico com o potencial:

O campo elétrico é o gradiente do potencial! Se a gente olhar só para o campo ao longo do eixo , esse gradiente é:

Então:

Primeiro vamos tirar as constantes:

Agora podemos separar a derivada em duas:

A primeira derivada, pela regra da cadeia, fica assim:

E a segunda é bem mais simples, já que o ponto está em , ou seja, :

Então:

Já que o enunciado também chama de a posição do ponto , essa é a expressão que estávamos procurando!

(d) Agora vamos lembrar da relação entre o trabalho e a variação de potencial:

Se vamos até no centro do disco vindo de no infinito:

E já calculamos :

E o potencial é zero no infinito, então: