Uma esfera condutora de raio possui uma carga total . Seja a distância radial medida desde o centro da esfera.
a) Calcule o módulo do vetor campo elétrico nas regiões e .
b) Calcule o potencial elétrico nas regiões e .
Passo 1
a) Essa questão se trata de uma esfera carregada, sendo que queremos saber qual o seu campo elétrico em duas regiões diferentes: e .
Primeiro, vamos pegar uma superfície gaussiana esférica de raio e calcular o fluxo elétrico através dela utilizando
Sendo que é o vetor perpendicular à superfície e é a área da superfície esférica que vale .
E então vamos relacionar esse fluxo à Lei de Gauss para cada uma das regiões
Passo 2
O fluxo elétrico vai ser
Então bora colocar isso na Lei de Gauss ;)
i) Para
Quando , a superfície gaussiana está dentro da esfera condutora. Mas vamos lembrar uma coisa: em qualquer material condutor carregado, o campo elétrico no seu interior vai ser SEMPRE 0. Então
i) Para
Nesse caso, a nossa gaussiana está fora da esfera condutora, então a carga dentro da superfície vai ser a carga da esfera, ou seja
Sendo assim
Passo 3
b) O potencial elétrico é dado por
Agora precisamos calcular esse potencial para e para
i)
Nesse caso, como o campo elétrico é nulo, o potencial elétrico deve ser constante e contínuo. Logo, o potencial será o mesmo da superfície da esfera:
ii)
No exterior da esfera, o campo é o mesmo que seria gerado com uma carga pontual que estivesse fora da esfera:
Logo, no interior da esfera o potencial é constante, e fora dela ele decresce conforme cresce.