Uma esfera maciça condutora, de raio e carga , é concêntrica com uma camada esférica condutora carregada com uma carga que tem raio interno e raio externo .
Determine o campo elétrico para as regiões , , e .
Encontre o potencial elétrico para essas regiões do espaço;
Qual deve ser a razão entre a carga da esfera e a carga da camada condutora para a qual o potencial eletrostático do sistema no centro comum da esfera e da camada seja igual ao potencial do sistema no infinito?
Passo 1
a) Determine o campo elétrico para as regiões , , e .
Para calcular o campo elétrico, vamos utilizar a simetria esférica do problema aplicada à Lei de Gauss, o que nos dará:
Assim, para cada situação, basta determinar a carga no interior da gaussiana.
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Essa região corresponde ao interior da esfera condutora. Aqui vai um detalhe importante que você precisa levar no coração: O campo elétrico no interior de um material condutor é sempre igual a zero.
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Essa região corresponde ao espaço entre a esfera e a superfície interna da casca esférica, logo, a gaussiana irá englobar somente a esfera de raio e carga .
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Novamente, essa região corresponde ao interior de um condutor, neste caso, a casca esférica. Como já sabemos que no interior de um condutor o campo elétrico é nulo:
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A gaussiana agora engloba tanto a esfera (de carga ), quanto a casca esférica (de carga ). Sendo assim:
Passo 2
b) Encontre o potencial elétrico para essas regiões do espaço;
O potencial elétrico será dado por:
Como a equação acima calcula a diferença de potencial, precisamos partir de um ponto de referência no qual já saibamos quanto vale o potencial. Esse ponto é , onde o potencial é nulo.
Assim, vamos começar da região mais externa e vamos para região mais interna:
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Agora, o nosso ponto de referência será , onde o potencial vale:
Logo, lembrando que nessa região o campo elétrico é nulo:
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Nessa região, o campo elétrico é dado por:
E vamos usar como referência o ponto , já que:
Assim:
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Nessa região, novamente o campo elétrico é nulo. Assim, vamos usar como referência o ponto , onde:
Dessa forma:
Passo 3
c) Qual deve ser a razão entre a carga da esfera e a carga da camada condutora para a qual o potencial eletrostático do sistema no centro comum da esfera e da camada seja igual ao potencial do sistema no infinito?
O centro comum entre a esfera e a camada é exatamente na origem que equivale a região . Do passo anterior vimos que o potencial é dado por
Agora temos que igualar esse potencial ao potencial no infinito!
Bom, o potencial do sistema no infinito é igual a zero, dessa forma, queremos calcular a razão para que o potencial em seja nulo.
Finalmente:
Resposta
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