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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

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Enunciado

Uma esfera maciça e isolante de raio igual a 20 c m está uniformemente carregada em todo

seu volume com uma carga total de 10 n C . Qual o valor do potencial elétrico na superfície da esfera se tomarmos como referência para o potencial nulo o seu centro?

  1. 450 V
  2. 225 V
  3. - 450 V
  4. - 225V
  5. 0 V

Passo 1

Vamos calcular a diferença de potencial elétrico usando

Δ V = V R - V 0 = - ∫ 0 R E → . d l →

Tomando V 0 = 0

V R = - ∫ 0 R E → . d l →

Só que antes precisamos do campo elétrico!

Passo 2

Como a densidade de carga é uniforme temos que

ρ = q 4 3 π R 3 = 3 q 4 π R 3

De forma que um infinitésimo de carga é dado por (em coordenadas esféricas)

d q = ρ d V = 3 q 4 π R 3 r 2 d r s e n θ d θ d ϕ

Passo 3

Pela simetria temos que o campo tem que ser radial. Isso nos facilita a vida e é conveniente usar a lei de Gauss.

Vamos usar como Gaussiana uma esfera, concêntrica a nossa esfera maciça, de raio r ( r < R ).

A carga total dentro dessa esfera é

Q i n t = ∫ ρ d V = 3 q 4 π R 3 ∫ 0 r r ' 2 d r ' ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Q i n t = 3 q 4 π R 3 r 3 3 4 π

Q i n t = q   r R 3

Passo 4

Já o fluxo do campo elétrico ao longo dessa Gaussiana será

Φ E = ∫ E → . d A →

Φ E = 4 π r 2 E

Agora usando a lei de Gauss

Φ E = Q i n t ϵ 0

4 π r 2 E = q ϵ 0 r R 3

E → = q 4 π ϵ 0 r R 3 r ^

Passo 5

Agora podemos calcular o potencial na superfície

V R = - ∫ 0 R E → . d l → = - ∫ 0 R q 4 π ϵ 0 r R 3 d r = - q 4 π ϵ 0 1 R 3 ∫ 0 R r d r

V R = - q 4 π ϵ 0 1 R 3 R 2 2    

V R = - 1 4 π ϵ 0 q 2 R

V R = - 9 × 10 9 10 × 10 - 9 2 × 20 × 10 - 2

V R = - 225 V

Resposta

(D)

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