Uma barra delgada homogênea de massa e comprimento encontra-se suspensa horizontalmente com a extremidade apoiada na borda de uma mesa e a outra extremidade suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível preso ao teto. O fio é cortado com uma tesoura e o instante imediatamente após o corte será chamado de .

(a) Adote um sistema de coordenadas, esboce o diagramas de forças sobre a barra antes e imediatamente após o corte do fio. Escreva todas as forças explicitamente nas duas situações acima em termos da base de versores adotada.

(b) Antes do corte do fio, ou seja, para , determine a magnitude das forças e .

(c) Determine o vetor torque com respeito ao ponto no instante .

(d) Determine o vetor aceleração angular da barra em ao girar em torno de um eixo passando por .

(e) Determine o vetor aceleração do centro de massa em .

(f) Determine a força de reação da mesa sobre a extremidade da barra em . Qual a razão entre a magnitude dessa força em e em ?

IMPORTANTE: Deixe todas as suas respostas em termos apenas das variáveis fornecidas no enunciado, da aceleração gravitacional local () e dos versores da base adotada.

(a)

Ele quer dois diagramas de forças, um quando o fio tá lá e outro depois que cortaram o fio.

A barra tem massa então sofre a atração gravitacional, logo temos o peso, em ambas situações.

Quando temos fio, existe tensão no fio.

Além disso, a barra tá apoiada na mesa,que é uma superfície, então temos uma normal em ambos os casos.

Coloquei ali embaixo os nosso eixo de coordenadas, onde x e y estão no plano e z sai da página.

Agora vamos escrever as forças explicitamente, como ele pede:

Com o fio:

Sem fio:

Show! Vamos para o próximo.

(b)

Só uma observação, as forças no ponto A,, e no ponto B, , são respectivamente a tração e a normal. Só olhar na figura anterior. Beleza?

Então, quando ainda temos o fio, a barra está parada, ela está em equilíbrio!

As condições de equilíbrio são:

Usando a primeira condição:

Na letra (a) escrevemos essas forças explicitamente, então vamos usar elas:

Beleza..guarda essa aí.

Vamos ver a outra condição de equilíbrio agora:

Como o normal tá aplicada em cima do eixo de rotação, então ela não produz torque, beleza? O peso e a tração produzem em relação ao eixo que passa pelo ponto B.

Vamos calcular o torque de cada um deles:

Lembrando que o é a distância do eixo de rotação até o ponto em que a força tá sendo aplicada. Como o peso tá aplicado no CM da barra, que é o meio da barra, temos que:

Então:

Agora, vamos calcular o torque da tração:

Agora o porque a tração tá aplicada lá no final da barra.

Show! Agora vamos voltar pra nossa condição:

Arrumando isso:

Uhul! Essa é a força que ele pediu pra gente!

Pra gente achar a , ou seja a normal, vamos lembrar da condição de equilíbrio para as forças que a gente fez lá em cima:

Já sabemos o e o , então é só substituir:

Maravilha!

(c)

Agora ele pede pra gente achar o torque em relação ao ponto B quando cortamos o fio.

Nessa situação, só temos o peso e a normal atuando. Mas a normal tá em cima do eixo, que passa pelo ponto B, então o torque dela é nulo (porque ).

Logo, só vamos ter o torque do peso. Que calculamos ali em cima:

(d)

Agora ele quer a aceleração angular que a barra tem quando o fio é cortado.

Para isso, vamos usar a relação do torque com a aceleração angular:

Vimos na letra (c) que só temos o torque do peso, então já sabemos o valor dele.

Temos que descobrir o momento de inércia agora.

O valor tabelado para o momento de inércia de uma barra que gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa é:

Mas nesse nosso problema o eixo de rotação tá passando pelo CM?

Não né! O eixo tá lá na extremidade da barra.

Então, pra gente descobrir o momento de inércia em relação a esse eixo da extremidade, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

Lembrando que o é a distância do CM até o nosso eixo novo, e que no nosso caso vale , olha aí na figura pra você lembrar:

Então:

Resolvendo essa continha:

Maravilha! Já podemos descobrir a aceleração angular

Ajeitando isso daí:

(e)

Agora na letra (e) ele pede a aceleração do CM, que é dada por:

Lembrando que:

A gente não sabe o valor do , mas sabemos sua direção e sentido, pela regra da mão direta, se a gente girar os dedos no mesmo sentido de rotação da barra, o nosso dedão vai estar apontando pra dentro da folha, certo?

E o é o raio da trajetória circular, em relação ao CM:

Então:

Como falamos antes:

E quem é ? (Só o módulo, ok?

Então:

Show!

(f)

Vamos olhar de novo pro nosso diagrama quando o fio é cortado:

A força em B é a normal, certo?! Então, aplicando a segunda lei:

Acabamos de achar a na letra (e):

Ajeitando isso:

Como ela aponta para cima:

Beleza! Essa é a nossa força em B depois que cortaram o fio.

Agora a gente precisa achar a força em B (normal) quando o fio ainda estava lá e calcular a razão de uma pela outra!

Quando o fio ainda tava lá:

Pela segunda lei:

A gente achou a tração lá na letra (b), e como o conjunto tava parado, a aceleração é zero.

Como ela tá apontando pra cima:

Finalmente, vamos calcular a razão da força em B(normal) antes de cortarem o fio e depois de cortarem o fio: