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Exercícios Resolvidos de Torque

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Enunciado

Força e Leis de Newton, Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica, Dinâmica de Rotação

Um ioiô com massa m = 120   g e com raio do eixo r = 3,20   m m possui momento de inércia de I 0 = 950 g . c m 2 . Sua corda tem 120   c m de comprimento, é inextensível e tem massa desprezível. No momento em que é lançado verticalmente para baixo, o ioiô tem somente velocidade de translação v 0 → = 1,30   m / s   ( - j ^ ) . Assuma que não há deslizamento entre a corda e o eixo do ioiô.

a ) Escreva as equações de movimento do ioiô sob sua forma literal.

b ) Determine o valor da aceleração do centro de massa do ioiô durante seu moviemento

c ) Determine a energia cinética total do ioiô no instante em que ele chega 60 cm abaixo do ponto da onde foi lançado.

d ) Determine o valor da energia cinética relacionada ao movimento de rotação neste instante.

Passo 1

a )

O movimento do ioiô pode ser decomposto em dois movimentos, o translacional e o rotacional!

Vamos começar com o translacional, basicamente F → = m   .   a → , mas para o ioiô, temos além da força peso, temos a tração do fio, então, para o sistema translacional, temos:

T → - m   .   g = - m . a C M →

Essa foi fácil! Agora vamos para o rotacional!

Passo 2

Para o rotacional, devemos relembrar a equação do torque, onde τ r e s = I α .

T   .   r = I 0 α

Essa foi mais fácil ainda!

Passo 3

b )

Para achar a aceleração do centro de massa do ioiô, vamos dar uma olhada na equação translacional, se liga!

T → - m   .   g = m . a → C M

Ih...ferrou, temos duas incógnitas, T → e a C M → e apenas uma equação! Ahhh...espera aí...a gente ainda tem a equação rotacional!

T   .   r = I 0   .   α

Podemos substituir α por a C M / r

T   .   r = I 0 .   a C M r

Ou seja,

T   = I 0 . a C M r 2

Passo 4

Agora podemos substituir T na equação translacional! E vai ficar assim:

I 0 . a C M → r 2 - m   .   g → = - m   .   a C M →

a C M → = g → I 0 m   .   r 2 + 1

a C M → = 10 950 120   .   0,32 2 + 1 ( - j ^ )

a C M → = 0,125   m / s 2   ( - j ^ )

Passo 5

c )

Precisamo achar a energia cinética do ioiô quando ele está à 60   c m   de onde foi lançado. Para isso, nada melhor do que usar a conservação da energia mecânica. Vamos adotar como origem do pontencial, a altura de 60   c m do ioiô, de modo que quando estiver nessa altura, tenha energia potencial gravitacional igual a zero. Agora, mão na massa!

E m a n t e s = E m d e p o i s

1 2 m   .   v 0 2 + m   . g →   . h = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2

Ou seja,

1 2 m   .   v 0 2 + m   . g →   . h = E c d e p o i s

E c d e p o i s = 1 2 0,120   .   1,30 2 + 0,120   .   10   .   0,60

E c d e p o i s = 0,82   J

Passo 6

d )

Agora, que temos a energia cinética total, precisamos descobrir quanto vale somente a energia cinética rotacional do ioiô no mesmo instante do item c. Se liga aqui!

1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2 = 0,82   J

1 2 I ω 2 = 0,82   J - 1 2 m v 2

Mas e agora?! Como vamos achar v ? Não se desespere! Dá uma olhada no próximo passo!

Passo 7

Se eu tenho v 0 e tenho a C M , fica fácil de obter a velocidade para qualquer altura. Lembra de Torricelli!? Olha só:

v 2 = v 0 2 + 2 . a   .   h

Lembrou?

v 2 = 1,30 2 + 2   .   0,125   .   0,6

v 2 =   1,84  

Agora é só substituir!

1 2 I ω 2 = 0,82 - 0,120   .   1,84 2

1 2 I ω 2 = 0,71   J

Resposta

a )   T → - m   .   g = - m . a C M → ;   T   .   r = I 0 α

b )   a C M → = 0,125   m / s 2   ( - j ^ )

c )     E c d e p o i s = 0,82   J

d )     1 2 I ω 2 = 0,71   J

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