Um disco de raio e massa e um cubo de lado e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento inclinado de com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente e . Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica . A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.

a) Os dois objetos são liberados a partir do repouso e descem o plano inclinado. O disco desce rolando sem deslizar. Utilize a 2ª Lei de Newton para determinar qual dos dois objetos chega primeiro à base do plano. Para este item um sistema de coordenadas diferente do proposto no desenho pode ser utilizado.

a)

Vamos utilizar um sistema de coordenadas com paralelo ao plano e perpendicular ao plano.

No cubo:

na direção do plano:

na direção perpendicular ao plano:

Substituindo na equação anterior:

Substituindo os dados:

Para o disco:

na direção do plano:

Aplicando a lei da rotação temos:

Lembrando que , a única força que produz torque é a força de atrito estática. Lembrando também que o momento de inércia de um disco é . Logo:

Lembrando também que . Temos

Substituindo na equação que encontramos para translação:

Substituindo os dados:

Como a aceleração do cubo é maior que a do disco, ele vai chegar primeiro.