A lança ilustrada abaixo tem comprimento e massa . Considere a massa uniformemente distribuída. Ela estaria livre para girar, sem atritos, em torno do seu eixo localizado na extremidade inferior (A), contudo, duas forças a mantém em equilíbrio estático fazendo um ângulo com a horizontal. Uma delas tem módulo , está inclinada de em relação à horizontal e atua no centro de massa da lança (B). A outra força tem módulo e atua verticalmente para baixo na extremidade superior da lança (C). Utilize para a aceleração da gravidade.

a) Determine os vetores torque em torno de A, produzidos na lança por cada uma das forças e .

b) Suponha agora que as forças e parem de atuar e a lança começa a girar pela ação da força da gravidade. Determine o valor da aceleração angular quando ela passar pela posição horizontal.

c) Continuando seu movimento de rotação, a lança passa pela posição vertical. Determine o valor da velocidade angular nesta posição.

Vamos decompor em uma componente , perpendicular a , e , componente paralela a :

O ângulo entre a horizontal e é , e o ângulo entre e é , então o ângulo entre é .

E é paralela ao vetor , então o ângulo entre e também é !

E é justamente desse ângulo entre o braço da alavanca e a força que a gente precisa calcular o torque. Então o seu módulo é dado por:

Isso se deve ao fato que a componente da força que é paralela ao braço não realiza torque!

A lança tem comprimento e o ponto B está bem na metade dela, então

E pela regra da mão direita, o vetor torque aponta na direção do vetor , logo:

Agora vamos pra força !

O seu torque em relação a A é dado por:

O raciocínio vai ser exatamente o mesmo que pra força : precisamos achar o ângulo entre e , e o torque vai ser:

Porque novamente, só a componente da força que é perpendicular ao braço da alavanca é que produz torque.

O vetor posição (braço) é:

Olhando a figura, podemos ver que o ângulo que a gente tá procurando, entre e , é .

Portanto, o torque é:

Agora o módulo do braço da alavanca é o comprimento todo da lança, :

E o torque é:

A gente até poderia deixar assim, mas esse dá pra simplificar, então é melhor.

Agora tem que estar com a trigonometria em dia! Vamos ver o que vale .

Pra isso uma boa é montar o círculo trigonométrico. Eu sempre faço isso na hora da prova, desenho ele no cantinho da folha.

Vamos ter:

Olhando a figura com carinho, podemos ver, que nem eu botei ali em cima, que

Logo,

b)

Agora as forças e vão parar de atuar e a lança vai cair. Vamos estudar o momento em que ela passa pela posição horizontal. A questão pediu a aceleração angular da lança nesse instante.

Repare que a única força produzindo torque é a força da gravidade (peso), então

Nada mais justo que usar a fórmula:

é o momento de inércia da lança em relação ao eixo que passa por A :)

O torque da força da gravidade em relação ao eixo passando por A é:

A força da gravidade atua no centro de massa da lança, que fica bem no meio dela:

É bom de vez em quando calcular um torque com a força e o sendo perpendiculares né! rs

Enfim, vamos ter

Só falta calcular o momento de inércia da lança em relação ao eixo que passa por A!

O enunciado dá o momento de inércia de uma haste (como nossa lança), em relação ao eixo passando pelo centro de massa:

Mas atenção, isso é pra uma massa e um comprimento genéricos e . No caso do exercício, a massa da lança realmente é mas o comprimento é .

Então

Mas precisamos do momento de inércia em relação ao eixo passando por A. Então vamos aplicar o teorema dos eixos paralelos:

sendo a distância entre os eixos, que é .

Ou seja,

Recapitulando, achamos

Juntando tudo, obtemos:

c)

A aceleração da lança varia com o tempo, então não podemos usar as equações do movimento circular uniformemente variado. Vamos resolver essa questão usando conservação de energia!

Não há atrito ou outra força não-conservativa atuando na lança, então podemos aplicar a conservação da energia mecânica:

A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial . Aqui o movimento é de rotação, então a energia cinética é de rotação (), e a energia potencial é só gravitacional (não tem elástica), então:

Sendo o momento inicial, quando a lança é solta do repouso, e o momento final, quando a lança passa pela posição vertical, isso dá:

Mas a lança parte do repouso! Então

A energia cinética de rotação da lança em torno do eixo que passa por A é:

Sendo a velocidade angular final da lança, que é o que a gente quer achar nessa questão, temos:

Agora vamos dar uma olhada na energia potencial gravitacional.

A primeira coisa que temos que fazer é definir uma altura onde a vale zero. E a altura mais evidente é a do ponto A, que é a do eixo de rotação. Então vamos fixar , show?

A altura que a gente tem que considerar pra medir a energia potencial gravitacional da lança é a do centro de massa dela, o ponto B.

Vamos começar achando a altura inicial do ponto B, quando ela está inclinada.

Olhando a figura com a carinho, e aplicando uma trigonometria básica, obtemos:

Então a energia potencial gravitacional inicial é:

Agora vamos ver qual é a altura final do centro de massa da lança, quando ela está na vertical.

Na verdade, justamente por estar na vertical, e apontando pra baixo, essa altura simplesmente é :

Então a energia potencial gravitacional final é:

Show! Vamos voltar à equação de conservação de energia mecânica: