Um fio ideal se encontra enrolado em torno de um cilindro maciço de massa e raio e não desliza sobre o cilindro. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal fixo, sendo seu momento de inércia em relação a esse eixo. O fio passa por uma polia de massa desprezível. A outra extremidade do fio está amarrada a uma bola de borracha de massa , de raio desprezível, que se encontra inicialmente em repouso a uma altura do solo, como mostra a figura.

Considere que: os fios são ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a resistência do ar é desprezível; a gravidade tem módulo conhecido.

Supondo que o fio se encontre inicialmente esticado e a bola colida elasticamente com o solo, determine:

a) o módulo da velocidade com que a bola colide com o solo;

b) o módulo da tensão no fio no instante imediatamente anterior à colisão da bola;

Inicialmente, a bola está em repouso, então a energia mecânica do sistema é igual à energia potencial gravitacional da bola:

Obs: não vamos considerar a energia potencial gravitacional do cilindro porque ele fica parado na mesma altura, então não serviria pra nada. Se a gente acrescentar essa energia na e na poderíamos simplesmente cortá-la dos 2 lados depois.

Já na hora da colisão, temos que considerar não só a energia cinética de translação da bola, mas também a energia cinética de rotação do cilindro:

sendo o momento de inércia do cilindro.

Também temos a relação

Então vamos ter

Então a energia mecânica do sistema no instante da colisão é:

Show! Então a equação de conservação da energia é:

Vamos simplificar a fração do lado direito multiplicando por 4, no numerador e no denominador:

b)

As forças atuando na bola são a tensão do fio (a qual queremos achar o módulo), apontando pra cima, e o próprio peso da bola, apontando pra baixo:

Então, pela 2ª lei de Newton, na bola:

sendo a aceleração da bola.

Como a bola está descendo, em módulo a equação vai ser:

E substituindo , isso dá:

Agora vamos dar uma olhada no cilindro.

As forças agindo nele são seu peso e a tensão do fio :

Como a força peso age diretamente no centro do cilindro, onde passa o eixo de rotação, ela não realiza torque em relação a esse eixo: só a tensão faz torque!

Então o torque resultante agindo no cilindro é igual ao torque da tensão:

O torque realizado pela força de tensão no fio é:

E como os fios são ideais, essa tensão tem o mesmo módulo da tensão que age na bola!

Ou seja,

E, pela versão pra rotação da 2ª lei de Newton,

Ou seja,

O que, em módulo, dá:

Vamos substituir :

E antes a gente achou:

Ou seja,

A única variável que a gente não conhece aí é a , então vamos isolá-la:

Show! Agora vamos substituir essa na equação

o que dá:

Esse é o módulo da tensão no fio logo antes da colisão! Mas tá meio feio, então podemos multiplicar em cima e em baixo por :