Considere as afirmações abaixo

  1. Se A m x n representa uma transformação sobrejetiva, então A x = b sempre tem solução para qualquer b ∈ R m
  2. Se T : U → V é uma transformação linear injetiva e que { u 1 , u 2 , u 3 } ⊂ U é gerador de U , então { T u 1 , T u 2 , T u 3 } é gerador de V
  1. Ambas são falsas
  2. Ambas são verdadeiras
  3. Apenas a 2 é verdadeira
  4. Apenas a 1 é verdadeira

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!! Nosso objetivo é verificar a veracidade das afirmações 1, e 2

.

Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz que se A m x n representa uma transformação sobrejetiva, então A x = b sempre tem solução para qualquer b ∈ R m

É aí, será que é verdade? Bem, se a transformação T é sobrejetiva, então a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio, isto é, d i m ( I m ( T ) ) = d i m ( R m ) . Como, por definição, a I m ( T ) ⊂ R m e a imagem tem a mesma dimensão, então I m ( T ) = R m . Isso significa que nosso sistema linear sempre vai ter solução para qualquer b ∈ R m . Com isso, provamos que a primeira afirmação é verdadeira

Passo 2

No passo anterior, vimos que a primeira afirmação era verdadeira. Vamos checar a segunda afirmação. Ela diz que se T : U → V é uma transformação linear injetiva e que { u 1 , u 2 , u 3 } ⊂ U é gerador de U , então { T u 1 , T u 2 , T u 3 } é gerador de V .

E aí, galera. Será que é sempre verdade? Vamos pensar em um contra exemplo. Vamos supor que o nosso U = R 3 e o nosso V = R 4 . é a transformação T é tal que

T e 1 = ( 1,0 , 0,0 )

T e 2 = ( 0,1 , 0,0 )

T e 3 = ( 0,0 , 1,0 )

Bem, essa transformação é injetiva, pois os elementos da base de R 3 são levados em vetores distintos e LI. Mas a imagem da transformação não gera o R 4 , já que só temos 3 vetores LI. Então chegamos a conclusão que a segunda afirmação é falsa

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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