UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 10
Considere as afirmações abaixo
- Se representa uma transformação sobrejetiva, então sempre tem solução para qualquer
- Se é uma transformação linear injetiva e que é gerador de , então é gerador de
- Ambas são falsas
- Ambas são verdadeiras
- Apenas a 2 é verdadeira
- Apenas a 1 é verdadeira
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!! Nosso objetivo é verificar a veracidade das afirmações 1, e 2
.
Vamos começar pela primeira afirmação. Ela diz que se representa uma transformação sobrejetiva, então sempre tem solução para qualquer
É aí, será que é verdade? Bem, se a transformação é sobrejetiva, então a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio, isto é, . Como, por definição, a e a imagem tem a mesma dimensão, então . Isso significa que nosso sistema linear sempre vai ter solução para qualquer . Com isso, provamos que a primeira afirmação é verdadeira
Passo 2
No passo anterior, vimos que a primeira afirmação era verdadeira. Vamos checar a segunda afirmação. Ela diz que se é uma transformação linear injetiva e que é gerador de , então é gerador de .
E aí, galera. Será que é sempre verdade? Vamos pensar em um contra exemplo. Vamos supor que o nosso e o nosso . é a transformação é tal que
Bem, essa transformação é injetiva, pois os elementos da base de são levados em vetores distintos e LI. Mas a imagem da transformação não gera o , já que só temos 3 vetores LI. Então chegamos a conclusão que a segunda afirmação é falsa
Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊