USP, 2016, P2,1
Seja um operador linear e considere as seguintes afrmações:
é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos autoespaços de é igual a 16;
se é a matriz que representa com respeito a alguma base de , então
se é diagonalizável e 4, -4, 16, -16 pertencem ao conjunto dos autovalores de , então a matriz que representa com respeito a qualquer base de é inversível.
Assinale a alternativa correta:
apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;
nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;
apenas a afirmação é necessariamente verdadeira;
apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras;
apenas as afirmações e são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Falaaaaaa, blz?? Bora para mais uma provinha, essa aqui envolvendo um operador, bora começar vamos olhar para primeira afirmação:
Para mostrar que essa afirmação é verdadeira, vamos pensar no seguinte:
Nós só podemos diagonalizar uma matriz se existir uma base de autovetores para o domínio de T.
Ou seja, dizemos que uma matriz é diagonalizavel se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de A é n.
Porém não confunda as coisas, a transformação do problema leva as matrizes 4 por 4 em matrizes 4 por 4, porém a matriz transformação de T não é uma matriz 4x4. Nesse caso, temos que , ou seja, ajustando o conceito falado acima, temos:
“dizemos que T é diagonalizavel se a soma das dimensões dos autoespaços associados a cada autovalor de T é 16”, por isso a afirmação é verdadeira.
Passo 2
Bora agora para segunda afirmação.
Nessa afirmação, vamos lembrar o seguinte conceito:
A ideia é aplicar isso no problema.
Como foi dito, temos que , ou seja, a matriz que representa T é do tipo , e por isso, pelo o que foi dito:
Logo a afirmação tá errada.
Passo 3
E para finalizar, vamos ver essa última afirmação:
Bom, essa afirmação é falsa, bora pensar o seguinte. Para T ser inversível, precisamos que , onde A é a matriz que representa o operador.
Agora, veja que podemos ter como autovalor associado a T, nesse caso, na matriz diagonal teríamos uma coluna sendo zero, o que tornaria o determinante nulo, por isso não inversível.
Resposta
Letra C