Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(a) Seja T : R 3 → M 2 x 2 dada por T x , y , z = x + z 3 y 4 x y - z . T é transformação linear.

Passo 1

Para uma transformação T ser linear:

  1. A transformação da soma de dois elementos do domínio é igual à soma das transformações de cada elemento separado
  2. A transformação de um escalar multiplicando um elemento do domínio é igual ao escalar vezes a transformação do elemento

Passo 2

Vamos então pegar um elemento genérico do domínio R 3 dado por:

v → = x , y , z

Multiplicando esse elemento por um escalar qualquer λ , vamos ter:

λ v → = λ x , λ y , λ z

Aplicando a transformação T dada no enunciado a v → :

T v → = x + z 3 y 4 x y - z

Agora, aplicando a mesma transformação ao vetor λ v → :

T λ v → = T ( λ x ,   λ y ,   λ z ) =   λ x +   λ z 3 λ y 4   λ 2 x y -   λ z

Mas, se fizermos λ vezes a transformação do vetor v → , vamos ficar com:

λ T v → = λ x + z 3 y 4 x y - z = λ x + λ z 3 λ y 4 λ x y - λ z

Logo, a transformação não é linear, já que não preserva a multiplicação por escalar.

Poderíamos também ter testado a preservação da soma primeiro.

Nesse caso, veríamos que T também não preserva a soma e chegaríamos à mesma resposta final.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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