Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) Seja dada por . T é transformação linear.
Passo 1
Para uma transformação T ser linear:
- A transformação da soma de dois elementos do domínio é igual à soma das transformações de cada elemento separado
- A transformação de um escalar multiplicando um elemento do domínio é igual ao escalar vezes a transformação do elemento
Passo 2
Vamos então pegar um elemento genérico do domínio dado por:
Multiplicando esse elemento por um escalar qualquer , vamos ter:
Aplicando a transformação T dada no enunciado a :
Agora, aplicando a mesma transformação ao vetor :
Mas, se fizermos vezes a transformação do vetor , vamos ficar com:
Logo, a transformação não é linear, já que não preserva a multiplicação por escalar.
Poderíamos também ter testado a preservação da soma primeiro.
Nesse caso, veríamos que T também não preserva a soma e chegaríamos à mesma resposta final.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v