USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 15
15) Seja o espaço vetorial de todas as funções e sejam definidas por:
e ,
para qualquer . Temos que:
é uma base do subespaço vetorial de gerado por . Se for a transformação linear definida por:
para qualquer , então será igual a:
a)
b) ;
c)
d)
e)
Passo 1
Eaí gente, tudo bom com vocês?
Nessa questão temos um problema um pouco diferente, agora temos um espaço vetorial das funções reais. Legal né?
Dentro desse espaço, há um subespaço vetorial de funções, , gerado a partir da base:
onde:
e
Massa! Pra ninguém ficar com saudades, existe também uma transformação linear , com domínio e contradomínio em , que é definida da seguinte forma:
para toda .
O objetivo da questão é determinar a matriz , entenderam?
Mas, quem é a matriz ?
é a matriz que representa a transformação linear , dentro da base .
Tipo assim, se a gente escrever qualquer função como uma combinação linear de e , e aplicar a matriz , ela nos dará a função resultante de . Pegou a ideia?
Daí, pra escrever basta saber os valores de .
Massa! Então bora calcular esses caras!
Passo 2
Começando por , sabemos que:
Logo,
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Agora é onde entra a base , precisamos escrever em função de .
Ou seja:
O bom é que esse sistema é bem tranquilo de resolver, e já vemos que devemos ter:
Ou seja:
Conseguiu compreender esse procedimento?!
Vamos fazer a mesma coisa para e ), beleza?
Bora lá!
Logo, escrevendo em função de :
Assim:
Portanto:
Por último, bora analisar .
Logo, escrevendo em função de :
Portanto:
Muito bomm!
Passo 3
Agora já estamos com a faca e o queijo na mão, é só dar a tacada final!
Como falamos antes, a matriz é dada por:
Além disso, sabemos que, em função da base vale:
Excelente! Juntando as duas informações vem:
Prontinho!! Matamos mais uma questão 😊
Valeu pessoal, espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😉
Resposta
Letra e.