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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP; Sem campus; Algebra Linear 2; P2; 2022; Questão 11

Sejam V um espaço vetorial de dimensão 14 e T   :   V   →   V uma transformação linear. Denote por I   :   V   →   V a transformação identidade. Pode-se afirmar que:

(a) se I m ( T   − 3 I ) tem dimensão 4 , então λ   =   3 é um autovalor de T com multiplicidade

geométrica igual a 10

(b) se λ   =   3 é um autovalor de T , então a dimensão de I m ( T   −   3 I ) é menor ou igual a

12

(c) T tem pelo menos um autovalor

(d) T tem no máximo 13 autovalores

(e) se I m ( T   − 3 I ) tem dimensão 5 , então λ   =   3 é um autovalor de T com multiplicidade

algébrica igual a 9

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. vamos verificar qual das alternativas é verdadeira.

Bem, temos que V um espaço vetorial de dimensão 14 e T   :   V   →   V uma transformação linear.

Vamos resolver nossa questão.

Passo 2

Vamos começar pela letra a ) . Se I m ( T   − 3 I ) tem dimensão 4 , então λ   =   3 é um autovalor de T com multiplicidade geométrica igual a 10

Os autovalores de um operador são os lambdas tais que ( T - λ I ) v = 0 . Ou seja, são os λ onde v pertence ao núcleo de ( T - λ I ) .

Agora, se I m ( T   − 3 I ) tem dimensão 4 , e como V um espaço vetorial de dimensão 14 . Pelo teorema do núcleo e da imagem que diz que

d i m ( V ) = d i m ( k e r ( T ) ) + d i m ( I m ( T ) )

Temos:

14 = d i m ( k e r ( T - 3 I ) ) + d i m ( I m ( T - 3 I ) )

⇒ 10 = d i m ( k e r ( T - 3 I ) )

Logo,

λ   =   3 é um autovalor de T com multiplicidade geométrica igual a 10

Logo, a alternativa correta é a a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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