À questão “Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

a) Embora T seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

b) Mostre que T é linear.

Passo 1

a Andrezinho errou a expressão da T L e também quem são os elementos do seu domínio. Assim, ele fez variar o vetor coluna v , w enquanto seu domínio é na verdade M 3 × 3 , ou seja quem deveria variar deveria ser uma matriz A ∈ M 3 × 3 e não um vetor coluna!

Assim, ele fixou matriz A , e tomou v , w como suas variáveis do problema, provando para uma S :   M 3 × 1 ⟶ M 3 × 1 dada por S v = A v e não uma T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v .

OBS: Talvez você tenha confundido que v , w ∈ R , também. Pois o jeito que ficou escrito, ficou meio confuso. Mas não tem problema pensar que v , w seriam números reais e não vetores colunas. Uma justificativa com esse argumento também é válida.

Passo 2

b Antes de começar, NÃO É NECESSÁRIO EXPANDIR A MATRIZ A COMO UMA 3 × 3 !! BASTA USAR AS PROPRIEDADES DAS MATRIZES!

Assim para provar que é linear basta fazermos:

  • T A 1 + A 2 = T A 1 + T ( A 2 )
  • T k A = k T A

Vamos provar essa primeiro:

I   T A 1 + A 2 = T A 1 + T A 2   ( I I )

Desenvolvendo o lado ( I I ) temos que:

T A 1 + T A 2 = A 1 v + A 2 v = A 1 + A 2 v = T A 1 + A 2

E assim vemos que I = ( I I ) !

Passo 3

Agora vamos provar que

I I I   T k A = k T A   ( I V )

Assim, vamos desenvolver o lado ( I I I ) :

T k A = k A v = k A v = k T ( A )

E assim podemos ver que os lados ( I I I ) e ( I V ) são iguais, E, portanto provamos as condições para nossa T ser linear!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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