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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

Álgebra Linear – UFPE – 2° EE

Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear T : M 2,2 → R 2 cujo núcleo é o conjunto das matrizes 2x2 simétricas, da forma a b b d .

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos fazer uma série de passo a passo.

Começamos por descobrir uma base para o núcleo de T .

Depois, iremos completar esta base para conseguir uma base para o espaço M 2,2 .

Por fim, definimos a imagem da transformação ao fazer a composição da imagem dos vetores da base.

Bom, é muita informação. Então, vamos discutindo calmamente ponto por ponto, a começar pelo núcleo de T . Queremos que o núcleo de T seja da forma a b b d . Para obtermos uma base para o núcleo, basta obtermos os vetores que compõem a b b d .

A ideia por trás disto é separar esta matriz em soma de matrizes que contém apenas a mesma variável. Depois, colocamos as variáveis em evidência e obtemos apenas os vetores associados. Portanto,

a b b d = a 0 0 0 + 0 b b 0 + 0 0 0 d

a b b d = a ⋅ 1 0 0 0 + b ⋅ 0 1 1 0 + d ⋅ 0 0 0 1

Portanto, uma base β para o núcleo é β = 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 .

Passo 2

Agora, vamos compor a base β para obter uma base E para o espaço M 2,2 . Como M 2,2 possui dimensão 4, precisamos de mais um vetor para a base E .

Este vetor pode ser escolhido aleatoriamente, desde que a lista dos vetores de β e este vetor seja uma lista LI. Duas possíveis opções são 0 1 0 0 e 0 0 1 0 .

Novamente, é importante deixar claro que a escolha vai de quem está fazendo a prova. O importante aqui é obter uma lista de 4 vetores LI, para que assim forme uma base!

Portanto, uma possível base E para M 2,2 é:

E = 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 , 0 1 0 0

Passo 3

Agora que obtivemos uma base E para o espaço M 2,2 , vamos obter uma transformação linear para um vetor a b c d qualquer pertencente a este espaço. Entretanto, para que possamos fazer isto, precisamos escrever este vetor a b c d como combinação linear da base E . Logo, queremos descobrir os coeficientes α n tais que:

a b c d = α 1 1 0 0 0 + α 2 0 1 1 0 + α 3 0 0 0 1 + α 4 0 1 0 0

a b c d = α 1 0 0 0 + 0 α 2 α 2 0 + 0 0 0 α 3 + 0 α 4 0 0

a b c d = α 1 α 2 + α 4 α 2 α 3

Comparando coordenada a coordenada, vamos obter o seguinte sistema:

a = α 1 b = α 2 + α 4 c = α 2 d = α 3

Resolvendo este sistema, obtemos que α 1 = a , α 2 = c , α 3 = d e α 4 = b - c . Portanto,

a b c d = a ⋅ 1 0 0 0 + c ⋅ 0 1 1 0 + d ⋅ 0 0 0 1 + b - c ⋅ 0 1 0 0

Aplicando o operador transformação linear, obtemos:

T a b c d = a ⋅ T 1 0 0 0 + c ⋅ T 0 1 1 0 + d ⋅ T 0 0 0 1 + b - c ⋅ T 0 1 0 0

Agora é importante lembrarmos uma característica de vetores pertencentes ao núcleo. Seja v um vetor pertencente ao núcleo, então T v = 0 . Isto é, a transformação linear de vetores pertencentes ao núcleo é igual a 0. Logo,

T a b c d = a ⋅ 0 + c ⋅ 0 + d ⋅ 0 + b - c ⋅ T 0 1 0 0

T a b c d = b - c ⋅ T 0 1 0 0

Para finalizarmos a questão, basta escolhermos o resultado de T 0 1 0 0 . Basta apenas que ela seja diferente de 0. Então, escolhendo 1,1 , temos:

T a b c d = b - c ⋅ 1,1 = b - c , b - c

OBS: percebam que poderíamos ter escolhido T 0 1 0 0 = 1,0 , ou 0 , - 1 , por exemplo. Foi uma escolha aleatória.

Resposta

Uma possível transformação é:

T a b c d = b - c , b - c

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