Seja T : P 2 → P 3 uma transformação linear tal que

T x 2 + 2 x + 3 = 2 x 3 + 1 x 2 + 2 x + 1

T x 2 + x + 3 = 2 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 0

T x 2 + 2 x + 4 = 1 x 3 + 1 x 2 + 1 x + 1

Qual o valor de T x ?

( a ) x 2 + 1

( b ) - x 3 - x

( c ) - x 2 - 1

( d ) 2 x 3 + 2 x

Passo 1

Não precisamos nem pensar muito nessa. Nos dois primeiros polinômios que aparecem! Temos que:

x 2 + 2 x + 3 - x 2 + x + 3 = x

Que é exatamente o que precisávamos!! Aplicando a T L nos dois lados:

T x 2 + 2 x + 3 - x 2 + x + 3 = T x

T x 2 + 2 x + 3 - T x 2 + x + 3 = T x

T x = 2 x 3 + 1 x 2 + 2 x + 1 - 2 x 3 + 0 x 2 + 2 x + 0 = x 2 + 1

Resposta

Letra ( a )

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Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v