USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P2 - 2016, Questão 2
Considere o espaço vetorial munido do seu produto interno usual e sejam . Se o operador linear que satisfaz:
for simétrico, então é igual a:
a)
b)
c)
d) ;
e) .
Passo 1
Fala aí gente, tudo tranquilo?
Nessa questão recebemos uma transformação linear e algumas informações:
O enunciado nos pede para determinar de modo que seja simétrica.
Uma transformação linear é simétrica se a matriz que representa essa transformação também for simétrica. Por isso, nosso objetivo vai ser determinar a matriz que representa numa base ortonormal, e a partir disso verificar as condições para simetria.
Passo 2
Como recebemos informações da transformação dos vetores:
vamos construir uma base ortonormal a partir desses mesmos vetores.
Como eles já são , basta que possuam norma igual a . Assim, temos a base :
Logo:
Mas, precisamos escrever esse vetor em função da nossa base . Assim:
Vamos fazer o mesmo procedimento para os outros dois vetores.
Temos que:
Colocando novamente em função dos vetores da base , vem:
Por fim:
Colocando em função dos vetores da base :
Muito bom!
Passo 3
Agora podemos montar a matriz que representa a transformação na base :
Como havíamos comentado, para ser simétrica, a matriz também precisa ser simétrica.
Assim:
Logo, fazendo:
Temos:
Portanto:
É isso gente! Espero que vocês tenham entendido bem!
Até a próxima 😊
Resposta
Letra e).