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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 04

04) Seja T : P 5 R → P 5 ( R ) a transformação linear definida por

T p = p + p '

para qualquer p ∈ P 5 R .   Assinale a alternativa correta:

a) dim ⁡ K e r T = 1 ;

b) dim ⁡ K e r T = 4 ;

c) dim ⁡ K e r T = 3 ;

d) dim ⁡ K e r T = 2 ;

e) T é bijetora.

Passo 1

Ooiee, tudo bom pessoal?

Nessa questão temos uma transformação linear T com domínio e contradomínio em P 5 ( R ) , ou seja, nos polinômios de grau no máximo igual a 5 . Essa transformação é definida por:

T p = p + p '

Massa!

Analisando as alternativas, se a gente calcular a d i m ⁡ ( K e r T ) já matamos a questão (nem que seja por eliminação haha).

Mas como calculamos a dimensão do espaço nulo, K e r ( T ) ?

O segredo é pensar na própria definição de K e r T . Ele é o espaço vetorial do domínio que contém apenas os vetores que, quando aplicados à transformação T geram o elemento nulo na imagem. Ou seja, se

p v = a + b t + c t 2 + d t 3 + e t 4 + f t 5

onde p v ∈ K e r ( T ) , vale que:

T p v =   0 + 0 t + 0 t 2 + 0 t 3 + 0 t 4 + 0 t 5

Pegou a ideia?! Top, vamo simbora.

Passo 2

Bora aplicar a transformação T ao nosso polinômio genérico p v . Temos:

T p v = p v + p v '

p v ' é simplesmente a derivada do polinômio, logo:

p v ' = a + b t + c t 2 + d t 3 + e t 4 + f t 5 '

∴ p v ' = b + 2 c t + 3 d t 2 + 4 e t 3 + 5 f t 4

Substituindo em T ( p v ) , vem:

T p v = a + b + b + 2 c t + c + 3 d t 2 + d + 4 e t 3 + e + 5 f t 4 + f t 5

Como T p v = 0 , podemos montar o seguinte sistema:

f = 0 e + 5 f = 0 d + 4 e = 0 c + 3 d = 0 b + 2 c = 0 a + b = 0

Ótimo!! Se partirmos da primeira equação, e formos substituindo o resultado em cada equação abaixo, vamos chegar que:

a = b = c = d = e = f = 0

Portanto, se p v ∈ K e r ( T ) , temos:

p v = 0

Logo, podemos afirmar sobre a dimensão do espaço nulo que:

dim ⁡ K e r T = 0

Show de bola! Isso já nos diz que T é injetora, lembra? Uma transformação linear é injetora se, e somente se, dim ⁡ K e r T = 0 .

Passo 3

Belezaa! Nós sabemos que, por eliminação, a resposta é letra E. Maaas, vamos mostrar que T realmente é bijetora pra que não fique nenhuma dúvida 😉

Bom, no passo anterior já mostramos que T é injetora, sendo assim só precisamos mostrar agora que ela também é sobrejetora. Porém, quando que uma transformação é dita sobrejetora mesmo?

Pra uma função ser sobrejetora basta que:

dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o = d i m ⁡ ( I m T )

Maaaas, pelo teorema fundamental da álgebra (que precisa muito estar no sangue!), sabemos também que:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + d i m ⁡ ( I m T )

Logo, como dim ⁡ K e r T = 0 :

dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( d o m í n i o )

Agora é só lembrar lá do início, tanto o domínio como o contradomínio estão em P 5 ( R ) , portanto eles com certeza possuem a mesma dimensão (já que se trata do mesmo espaço vetorial).

Além disso, a dimensão de um polinômio é sempre o seu grau mais um. Logo:

dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o = dim ⁡ I m T = 6

Com isso, concluímos que T é bijetora.

Aeee, perfeito galera! Entenderam tudinho mesmo?

É isso então, até a próxima pessoal 😉

Resposta

Letra E: T   é bijetora.

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