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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 12

Seja

T ( x , y , z ) = ( x - 2 y + z , - x - y + z )

S ( x , y ) = ( - 2 x + 2 y , 2 x - y , x + y )

Se A é a matriz que representa T ∘ S , então a entrada a 22 de A é:

  1. 2
  2. 4
  3. 3
  4. 1  

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!!

Bem, o que queremos calcular é entrada a 22 de A , onde A é dada pela composição de duas transformações lineares. Temos:

T ( x , y , z ) = ( x - 2 y + z , - x - y + z )

S ( x , y ) = ( - 2 x + 2 y , 2 x - y , x + y )

A =   T ∘ S

Bem, O que seria T ∘ S ? A composição de transformações lineares é definida da mesma forma que composição de funções. Isto é:

( T ∘ S ) v = T ( S v )

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclus��o que

( T ∘ S ) v = T ( S v )

vamos obter de forma explícita essa transformação. Usando os dados informados, temos que:

T ( x , y , z ) = ( x - 2 y + z , - x - y + 2 z )

S ( x , y ) = ( - 2 x + 2 y , 2 x - y , x + y )

Então

T ( S ( x , y ) T ) = T ( ( - 2 x + 2 y , 2 x - y , x + y ) )

Aplicando T , temos:

T ( ( - 2 x + 2 y , 2 x - y , x + y ) ) =

= ( ( - 2 x + 2 y ) - 2 ( 2 x - y ) + ( x + y ) , - ( - 2 x + 2 y ) - ( 2 x - y ) + 2 ( x + y ) ) )

Simplificando obtemos

= ( - 5 x + 5 y , 2 x + y )

Show?

Passo 3

Obtemos a transformação composta de um vetor ( x , y ) qualquer. Chegamos a conclusão que

T ( S ( x , y ) T ) = ( - 5 x + 5 y , 2 x + y )

Agora, para construir a matriz dessa transformação, precisamos saber o que acontece com os vetores da base de R 2 , pois as suas transformações serão as colunas da matriz A . Então temos:

T ( S ( 1,0 ) T ) = ( - 5,2 )

e

T ( S ( 0,1 ) T ) = ( 5,1 )

Então as colunas da matriz A , são dadas pelos vetores ( - 5,2 ) e ( 5,1 ) , nessa ordem. Logo:

A = - 5 5 2 1

Logo, o termo a 22 , que é o número que se encontra na segunda linha e segunda coluna de A , vale:

a 22 = 1

Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

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