USP Álgebra Linear 2 P2 2016
Seja um inteiro positivo, um espaço vetorial de dimensão e um operador linear. Considere as seguintes condições:
- É inversível
- Tem autovalores não nulos distintos
- É diagonalizável
Assinale a alternativa correta:
- 1 implica 2; 3 implica 2
- 2 implica 3; 3 implica 1
- 1 implica 2; 3 implica 1
- 2 implica 1; 3 implica 1
- 2 implica 1; 2 implica 3
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana pois, é uma questão teórica
Vamos anotar tudo que sabemos do enunciado.
é um EV de dimensão , e um operador linear em Queremos saber quais das condições implicam as outras. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar checando se a afirmação 2) implica a 1) ou a 3). Isto é:
Se tem autovalores não nulos distintos então é inversível.
Vamos, primeiro, relembrar a definição de autovalor.
é um autovalor de se:
(se v pertence ao núcleo, então o determinante da matriz é zero)
No nosso caso, os autovalores são NÃO nulos e distintos então como zero não é autovalor.
(Substituindo zero na equação acima)
Logo é inversível
Uhul, conseguimos verificar que 2) implica 1). Vamos checar se 2) implica 3)
Passo 3
No passo anterior, chegamos a conclusão que a afirmação 2) implica na afirmação 1). Vamos checar se 2) implica 3).
Isto é: vamos verificar se tem autovalores não nulos distintos então é diagonalizável.
Mas o que é uma matriz ser diagonalizável mesmo? Vamos revisar.
Dizemos que é diagonalizável se pode ser escrita da seguinte forma:
Com uma matriz diagonal onde suas entradas são os autovalores de , e a matriz onde suas colunas são os autovetores de .
Como já sabemos que que tem autovalores não nulos e DISTINTOS, isto implica que seus autovetores são diferentes e linearmente independentes (vamos provar isso!). Então podemos construir a matriz de autovetores e calcular a sua inversa.
Vamos mostrar que se temos dois autovalores distintos, então temos que ter dois autovetores distintos. Sem perda de generalidade, suponha que nossos autovalores são 2 e 3, e eles estão associados a um mesmo autovetor então, pela definição de autovetor
(subtraindo as equações)
Ou seja, nosso autovetor teria que ser o vetor zero, que é um absurdo pela definição de autovetor!
Logo, é diagonalizável
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
e)