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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP Álgebra Linear 2 P2 2016

Seja um 𝑉   espaço vetorial de dimensĂŁo 5   e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉   um operador linear cujo polinĂŽmio caracterĂ­stico Ă©

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

Denote por đŒ   o operador identidade de 𝑉   . EntĂŁo o operador 𝑇   Ă© diagonalizĂĄvel se e somente se:

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocĂȘs? Vamos para mais uma questĂŁo de Algelin. Dessa vez uma questĂŁo mais teĂłrica!!!

Nosso objetivo Ă© verificar se o operador 𝑇   ,cujo polinĂŽmio caracterĂ­stico Ă©

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

Ă© diagonalizĂĄvel.

Passo 2

Bem, o que Ă© polinĂŽmio caracterĂ­stico mesmo? Vamos dar uma relembrada. O polinĂŽmio caracterĂ­stico de um operador linear Ă© definido como:

𝑝 𝑇 𝑡   =   d e t d e t   𝑇   − 𝑡 đŒ  

Essa definição é familiar, onde serå que jå a vimos?

Na definição de autovalor!!!! Lembram que 𝑡   Ă© autovalor se d e t d e t   𝑇   − 𝑡 đŒ     =   0 . Isto Ă©, se 𝑡  

Ă© raiz do polinĂŽmio caracterĂ­stico.

EntĂŁo como nosso polinĂŽmio caracterĂ­stico Ă©

𝑝 𝑇 𝑡   =   − 𝑡 3 𝑡 − 2 2

Ele tem como raĂ­zes

0   e   2

Passo 3

JĂĄ revisamos a definição de polinĂŽmio caracterĂ­stico, e vimos que ele Ă© usado para calcular os autovalores de um operador. Mas vamos lembrar que nosso objetivo Ă© verificar qual a condição Ă© necessĂĄria para diagonalizar 𝑇   .

Que condição serå essa? Serå a mesma condição para qualquer outro operador linear. Lembram qual é essa condição? Vamos relembrar!!!

Lembraram? A condição Ă© a seguinte!!! A soma das dimensĂ”es dos espaços gerados pelos autovetores associados a cada autovalor tem que ser igual a dimensĂŁo do espaço original. No nosso caso igual a 5   . Em outras palavras, precisamos que

∑ 𝜆   d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   𝜆 đŒ     =   5

onde 𝜆 Ă© um autovalor de 𝑇   .

No passo anterior, vimos que 𝑇   tem dois autovalores, 0   e   2 , entĂŁo a equação acima fica:

d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   0 đŒ     + d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   5

(portanto)

d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   5

Essa Ă© a condição que precisa ser satisfeita para 𝑇   ser diagonalizĂĄvel, mas serĂĄ que podemos reescrevĂȘ-la de outra forma? O que vocĂȘs acham?

Passo 4

Nos passos anteriores chegamos a conclusĂŁo que para nosso operador 𝑇   ser diagonalizĂĄvel a seguinte condição precisa ser satisfeita.

d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   5

Mas podemos reescrever o d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇     de outra forma, como vamos fazer isso? Usando o teorema do nĂșcleo e da imagem, que diz o seguinte:

đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   +     đ· 𝑖 𝑚 đŸ 𝑒 𝑟 𝑇  

=   đ· 𝑖 𝑚 𝑉

(a dimensĂŁo da imagem de T mais a dimensĂŁo do nĂșcleo Ă© a dimensĂŁo do espaço de origem )

Como a đ· 𝑖 𝑚 𝑉   =   5

temos:

đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   +     đ· 𝑖 𝑚 đŸ 𝑒 𝑟 𝑇     =   5

⇒   đ· 𝑖 𝑚 đŸ 𝑒 𝑟 𝑇     =   5   −   đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇    

Substituindo essa relação na condição que obtemos resulta em:

d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇       + d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   5

⇒   5   −   đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   + d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   5

⇒ −   đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   + d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   0

(multiplicando por -1)

⇒ đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   − d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   0

E com isso chegamos ao fim de mais uma questĂŁo de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. AtĂ© a prĂłxima!!! 😊

Resposta

đ· 𝑖 𝑚 đŒ 𝑚 𝑇   − d i m d i m   đŸ 𝑒 𝑟 𝑇   −   2 đŒ   =   0

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