Seja um espaço vetorial de dimensão e um operador linear cujo polinômio característico é
Denote por o operador identidade de . Então o operador é diagonalizável se e somente se:
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma questão mais teórica!!!
Nosso objetivo é verificar se o operador ,cujo polinômio característico é
é diagonalizável.
Passo 2
Bem, o que é polinômio característico mesmo? Vamos dar uma relembrada. O polinômio característico de um operador linear é definido como:
Essa definição é familiar, onde será que já a vimos?
Na definição de autovalor!!!! Lembram que é autovalor se . Isto é, se
é raiz do polinômio característico.
Então como nosso polinômio característico é
Ele tem como raízes
Passo 3
Já revisamos a definição de polinômio característico, e vimos que ele é usado para calcular os autovalores de um operador. Mas vamos lembrar que nosso objetivo é verificar qual a condição é necessária para diagonalizar .
Que condição será essa? Será a mesma condição para qualquer outro operador linear. Lembram qual é essa condição? Vamos relembrar!!!
Lembraram? A condição é a seguinte!!! A soma das dimensões dos espaços gerados pelos autovetores associados a cada autovalor tem que ser igual a dimensão do espaço original. No nosso caso igual a . Em outras palavras, precisamos que
onde é um autovalor de .
No passo anterior, vimos que tem dois autovalores, , então a equação acima fica:
(portanto)
Essa é a condição que precisa ser satisfeita para ser diagonalizável, mas será que podemos reescrevê-la de outra forma? O que vocês acham?
Passo 4
Nos passos anteriores chegamos a conclusão que para nosso operador ser diagonalizável a seguinte condição precisa ser satisfeita.
Mas podemos reescrever o de outra forma, como vamos fazer isso? Usando o teorema do núcleo e da imagem, que diz o seguinte:
(a dimensão da imagem de T mais a dimensão do núcleo é a dimensão do espaço de origem )
Como a
temos:
Substituindo essa relação na condição que obtemos resulta em:
(multiplicando por -1)
E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!! 😊