Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

Ver Teoria
Exercício 691234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768707172

Enunciado

USP; Sem campus; Algebra Linear 2; P2; 2022; Questão 3

Denote por C ( R ) o espaço vetorial de todas as funções contínuas f   :   R   →   R   e seja V o subespaço de C ( R ) gerado pelas funções:

f 1 ( x )   =   c o s ( x ) ,   f 2 ( x )   =   s e n ( x )   e   f 3 ( x )   =   e 2 x

Seja   T   :   V   →   V a transformação linear definida por

  T ( f )   =   f ′ ′

, para toda f   ∈   V e considere a base B   =   { f 1 ,   f 2 ,   f 3 }   de V . Temos que a soma das entradas na diagonal principal da matriz [ T ] B é igual a:

(a) 2

(b) 4

(c) 6

(d) - 2

(e) − 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez vamos trabalhar com uma transformação linear. Vamos lembrar da definição de [ T ] B . Lembram dela?

[ T ] B é a matriz onde suas colunas são:

( T ( f 1 ) ) B ,   ( T ( f 2 ) ) B ,   ( T ( f 3 ) ) B

Ou seja, é o resultado da transformação T ( f i ) representado na base B .

No nosso caso, temos que

B   =   { f 1 ,   f 2 ,   f 3 }  

  T ( f )   =   f ′ ′

f 1 ( x )   =   c o s ( x ) ,   f 2 ( x )   =   s e n ( x )   e   f 3 ( x )   =   e 2 x

Então vamos encontrar os elementos da diagonal de [ T ] B

Passo 2

Vamos começar encontrando T ( f i ) . Como

  T ( f )   =   f ′ ′

f 1 ( x )   =   c o s ( x ) ,   f 2 ( x )   =   s e n ( x )   e   f 3 ( x )   =   e 2 x

Então,

T ( f 1 ) = - c o s ( x )

T ( f 2 ) = - s i n ( x )

T ( f 2 ) = 4 e 2 x

Agora, vamos escrever esses resultados na base B , isto é como os coeficientes da combinação linear de

f 1 ( x )   =   c o s ( x ) ,   f 2 ( x )   =   s e n ( x )   e   f 3 ( x )   =   e 2 x

Como

T ( f 1 ) = - c o s ( x )

temos:

- 1 c o s ( x ) + 0 s e n ( x ) + 0   e 2 x

Logo

[ T ( f 1 ) ] B = ( - 1,0 , 0 )

Como

T ( f 2 ) = - s i n ( x )

temos:

0 c o s ( x ) - 1 s e n ( x ) + 0   e 2 x

Logo

[ T ( f 2 ) ] B = ( 0 , - 1,0 )

Como

T ( f 3 ) = 4 e 2 x

temos:

0 c o s ( x ) + 0 s e n ( x ) + 4   e 2 x

Logo

[ T ( f 3 ) ] B = ( 0,0 , 4 )

Passo 3

Agora que sabemos que

[ T ( f 1 ) ] B = ( - 1,0 , 0 )

[ T ( f 2 ) ] B = ( 0 , - 1,0 )

[ T ( f 3 ) ] B = ( 0,0 , 4 )

Podemos obter a soma dos elementos da diagonal de [ T ] B . Como [ T ] B é a matriz onde suas colunas são:

( T ( f 1 ) ) B ,   ( T ( f 2 ) ) B ,   ( T ( f 3 ) ) B

Então a soma dos elementos da sua diagonal principal é

- 1 - 1 + 4 = 2

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Uma transformação linear T:R ²→R ² ² ² de posto 2 transforma toda reta numa reta. Prove isto.
De um exemplo de uma transformação linear T sobrejetiva e não injetiva. Prove que é sobrejetiva e não injetiva.
Prove que uma transformação linear é injetiva se, e somente se, seu núcleo se reduz ao único elemento 0 ∈ R 3
Prove que, para toda transformação linear M : R 3 →R 3 , a transformação M * M é auto adjunta e que o núcleo de M * M coincide com o núcleo de M . Em particular, se M é invertível, o mesmo ocorre M *
Chama-se núcleo da transformação linear M : R 3 → R 3 ao conjunto N M = { v ∈ R 3 ; M v = 0 } . Determine os núcleos das transformações lineares dos exemplos 47.1 ,47.2 ,47.3e47.4 . prove que se u , v