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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP - Sem Campus - Álgebra Linear II - 2016 - P2 - Questão 16

Seja T : P 2 R → P 2 R o operador linear definido por:

T a   +   b t   +   c t 2   =   a   +   2 a   -   b t   +   b + c t 2

Para todos a , b , c   reais.

Considere as bases C   =   1 , t , t 2 de P 2 R e seja B   =   p 1 t , p 2 t , p 3 t

a base de P 2 R tal que:

T B C = 1 0 - 1 0 0 2 0 3 0

Então p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t é igual a:

Passo 1

Fala pessoal tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é muito bacana, pois iremos trabalhar com matrizes de mudança de base.

Antes de mais nada, vamos bolar um plano para obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t . Já que precisamos deles para calcular p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t . Como vocês acham que podemos encontrá-los?

Como o enunciado nos diz quem é T B C , talvez possamos usar a relação entre matrizes e transformações lineares. Lembram dessa relação? Vamos revisar, é MUITO importante. Temos que:

T B C   =   T C I B C

Então:

T C - 1 T B C   =   I B C

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Mas porque queremos usar a relação descrita no passo 1? Pois   I B C é a matriz de mudança de base, ou seja, as suas colunas serão os vetores da base de B   , que é o que precisamos obter. Dessa forma, só precisamos calcular T C . Como obtemos essa matriz?

As colunas dessa matriz serão os vetores de T   aplicados na base canônica e representados na base C  

Confuso né? Mas ficará mais claro quando fizermos as contas

T 1,0 , 0 C

=   T 1   +   0 t + 0 t 2   C

=   1   +   2 t C

Representando esse polinômio na base C  

= 1,2 , 0

T 0,1 , 0 C

=   T 0   +   1 t + 0 t 2   C

=     - 1 t   +   t 2 C

Representando esse polinômio na base C  

= 0 , - 1,1

E por fim,

T 0,0 , 1 C

=   T 0   +   0 t + 1 t 2   C

=       t 2 C

Representando esse polinômio na base C    

= 0,0 , 1

Então a matriz T c

é:

1 0 0 2 - 1 0 0 1 1

Passo 5

Pronto, agora podemos obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t .Como comentamos no passo anterior, esses polinômios serão as COLUNAS da matriz I B C

que é dada por:

T C - 1 T B C   =   I B C

Vamos calcular essa matriz!!!!

I B C = 1 0 0 2 - 1 0 0 1 1 - 1 1 0 - 1 0 0 2 0 3 0

=   1 0 0 2 - 1 0 - 2 1 1 1 0 - 1 0 0 2 0 3 0

Então:

I B C = 1 0 - 1 2 0 - 4 - 2 3 4

Pronto, agora temos os nossos polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t .

Passo 6

Finalmente!!! Conseguimos obter os polinômios p 1 t   ,   p 2 t   ,   p 3 t . que são:

p 1 t   =   1   + 2 t   -   2 t 2

p 2 t   =   3 t 2

p 3 t   = - 1 - 4 t   + 4 t 2

Logo

p 1 t   +   p 2 t   +   p 3 t

=   - 2 t + 5 t 2

E com isso chegamos ao fim de mais uma questão de algelin 😊. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

- 2 t + 5 t 2

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