Seja T uma transformação linear tal que e . A matriz associada a T é:
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
Passo 1
Sabemos que se fazemos obtemos a primeira coluna de T, e se fazemos vamos obter a segunda coluna de T.
Mas o enunciado deu pra gente e .
Como (2,3) e (1,1) são LI, então eles formam uma base de , e conseguimos escrever todos os vetores desse espaço como CL de (2,3) e (1,1).
Vamos começar obtendo (1,0) como CL desses dois caras:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Logo, achamos:
Então podemos escrever:
Aplicando T dos dois lados:
Mas T é linear, logo:
Substituindo os valores de e dados no enunciado, vamos ter a primeira coluna de T.
Agora vamos fazer a mesma coisa pro vetor (0,1):
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Logo:
E:
Aplicando T dos dois lados e usando que T é linear:
Substituindo, achamos a segunda coluna:
Então a matriz T é:
Passo 2
Antes de vermos as alternativas, vamos lembrar de um macete pra calcular a inversa de uma matriz .
- Calcule o determinante da matriz
- Troque de posição os elementos da diagonal principal
- Troque os sinais dos elementos da diagonal secundária
- Divida todos os termos pelo determinante da matriz
Passo 3
(a) 
Usando o macete pra calcular inversa e multiplicando:
E essa não é a matriz que buscamos, vamos pra próxima alternativa!
Passo 4
(b) 
Usando o macete pra inversa e calculando:
Opa, essa é exatamente a matriz T que achamos!
Então já temos nossa resposta.
Resposta
(b) 