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Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 03

03) Considere a base B de R 2 dada por:

B = 1,2 , 1,1

e denote por C a base canônica de R 2 .   Sejam T : R 2 → R 2 e S : R 2 → R 2 as transformações lineares tais que:

T B C = 1 2 3 1 e [ S ] B C = 0 1 1 1 .

Se a , b , c , d ∈ R forem tais que:

T + S - 1 B =   a b c d

Então a + b + c + d será igual a:

a) 9

b) 6

c) 5

d) 3

e) 8

Passo 1

Eaí pessoal, tudo tranquilo com vocês?

Essa questão é bem legal, ela ajuda a entender melhor como as transformações lineares se comportam em bases diferentes.

Basicamente, temos duas bases no R 2 : a base B e a base canônica C .

Mas quem é a base B ?

Bom, se escrevermos ela em função da base canônica, temos que:

B = 1,2 , 1,1

É muito importante ressaltar isso. Essas bases são como referenciais no R 2 . Então, pra determinar os vetores que compõem a base escrevemos eles a partir do referencial da base canônica. Se fôssemos escrevê-los em função do próprio referencial B , eles seriam sempre { 1,0 , 0,1 } , sacaram?

Show! O enunciado nos fala que existem duas transformações lineares, T e S , ambas possuem domínio e contradomínio no R 2 . Sobre essas transformações, recebemos duas informações:

  1. T B C = 1 2 3 1

Isso significa que, se recebermos um vetor escrito na base B e aplicarmos a transformação T através da matriz T B C , será cuspido o vetor resultante da transformação escrito na base canônica C . Entenderam?

Por exemplo, se tomarmos os vetores da base B   ( 1,2 , 1,1 ) , só que escritos na própria base B , ou seja:

b → 1 = 1,2 C = 1,0 B

E aplicarmos a transformação T , teremos:

T 1,0 = T B C ⋅ b → 1 B  

∴ T 1,0 = 1 2 3 1 ⋅ 1 0

⇒ T 1,0 = 1,3

Show! Esse vetor ( 1,3 ) é o vetor resultante da transformação T e está escrito no referencial da base canônica C , entendeu?

Bora fazer mais uma vez, agora com o outro vetor que compõe a base B .

b → 2 = 1,1 C = 0,1 B

Logo:

T 0,1 = 1 2 3 1 ⋅ 0 1  

⇒ T 0,1 = ( 2,1 )

Onde, novamente, o vetor cuspido pela transformação, ( 2,1 ) , está escrito segundo a referência da base canônica C . Eaí, tudo beleza até aqui?

Uma observação legal de falar é que esses vetores, ( 1,3 ) e ( 2,1 ) , estão nas colunas da matriz T B C . Não é uma coincidência, vem exatamente do processo que fizemos acima 😊

Passo 2

Massa pessoal! Agora que entendemos bem o que está acontecendo, bora partir pro que a questão quer. Basicamente, devemos determinar a matriz da transformação:

T + S - 1 B

Ou seja, queremos aplicar uma transformação linear T + S - 1 , que receberá vetores escritos segundo a base B e devolverá, após aplicada a transformação, vetores escritos também na própria base B . Mas e aí, como que resolvemos isso?

A ideia é descobrirmos primeiro quem é a matriz T B e quem é S B , pra depois calcular a inversa de S B e, por fim, somar os resultados.

Então tá, vamos começar por T B .

Nós conhecemos, pelo enunciado, a matriz T B C :

T B C = 1 2 3 1

Como falamos antes, ela pega um vetor na base B , aplica a transformação T , e depois devolve o vetor escrito na C . O problema é que agora queremos que o vetor seja cuspido na própria base B .

Sabemos que:

T 1,0 B = 1,3 C

Como ficaria o vetor 1,3 C escrito na base B ?

1,3 = a 1,2 + b 1,1

⇒ 1,3 = a + b ,   2 a + b

Logo:

a + b = 1 2 a + b = 3

Portando:

a =   2 ,   b = - 1

Assim, temos:

1,3 C = 2 , - 1 B  

Ou seja:

T 1,0 B = 2 , - 1 B

Show, guarda esse resultado! Sabemos também que:

T 0,1 B = 2,1 C

Novamente, vamos escrever o vetor ( 2,1 ) na base B .

2,1 = c 1,2 + d 1,1

2,1 = c + d ,   2 c + d

Logo:

c + d = 2 2 c + d = 1

Assim:

c = - 1 ,   d = 3

Logo:

T 0,1 B = - 1 ,   3 B

Bouaa!

Passo 3

Então descobrimos o que T cospe, dentro da própria base B , quando a aplicamos nos vetores que compõem essa mesma base. Lembra da observação do passo anterior, aqui acontece o mesmo, e já poderíamos dizer quem é T B .

Mas, pra que ninguém fique desconfiado haha, bora provar direitinho.

Imagina que temos um vetor genérico escrito na base B dado por:

u → = ( x , y )

Podemos escrevê-lo como:

u → = x 1,0 + y ( 0,1 )

(Lembra que tudo isso está acontecendo dentro da base B .)

Aplicando a transformação linear T , vem:

T u = T x 1,0 + y 0,1

Mas, pelas propriedades da transformação linear, podemos escrever:

T x 1,0 + y 0,1 = x T 1,0 + y T 0,1

Só que antes já calculamos T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) . Logo:

T u = x 2 , - 1 + y ( - 1,3 )

Podemos reescrever essa equação na forma matricial, assim temos:

T u = 2 - 1 - 1 3 x y

Bom demaisss! Logo, quem que é nossa matriz T B ?

T B = 2 - 1 - 1 3

Aeeeee!

Conseguiram pegar o passo a passo direitinho? É isso aí, bora repetir o mesmo processo pra S .

Passo 4

Para S , temos novamente o mesmo raciocínio:

S B C = 0 1 1 1

Essa matriz recebe vetores escritos na base B e devolve vetores escritos na base C .

Daí, já sabemos que:

S 1,0 B = 0,1 C

Reescrevendo 0,1 C pelo referencial da base B , temos:

0,1 = a 1,2 + b ( 1,1 )

⇒ a + b = 0 2 a + b = 1

Logo:

a = 1 b = - 1

Portanto:

S 1,0 B = 1 , - 1 B  

Para o outro vetor da base B escrito na própria base, temos:

S 0,1 B = 1,1 C

Reescrevendo 1,1 C na base B , vem:

1,1 = c 1,2 + d 1,1

Logo:

c = 0 d = 1

Portanto:

S 0,1 B = 0,1

Show! Lembrando da conclusão que chegamos no item anterior, é só colocar esses vetores resultantes como coluna na matriz S B . Daí, vem:

S B = 1 0 - 1 1

Prontinho!

Passo 5

Calma galera! Estamos quase acabando. Agora que já encontramos S B , só precisamos calcular a inversa dessa matriz.

Tem um truque bem legal pra usar em matrizes 2 × 2 . Tipo, imagina que temos uma matriz M dada por:

M = a b c d

Daí, a matriz inversa vai ser:

M - 1 = 1 d e t M d - b - c a

Bem legal né? Facilita bastante. Daí, para:

S B = 1 0 - 1 1

Temos:

det ⁡ S B = 1 ⋅ 1 - 0 ⋅ - 1

∴ det ⁡ S B = 1

Portanto:

S - 1 B = 1 0 1 1  

Excelente!!! Lembrando que devemos calcular T + S - 1 B , vem:

T + S - 1 B =   2 - 1 - 1 3 + 1 0 1 1

⇒ T + S - 1 B = 3 - 1 0 4  

O enunciado nos pede para determinar a soma dos elementos dessa matriz. Logo:

S o m a = 3 + - 1 + 0 + 4

S o m a = 6

Perfeitoo!!

Boa gente! Matamos mais uma questão, espero que vocês tenham aprendido bastante durante essa solução. Valeeu, tamo junto 😉

Resposta

Letra B: 6 .

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