13) Considere a base:

B = 1,1 ,   0,1

De R 2 e a transformação linear T : R 2 → R 3 tal que

T B C = 1 - 1 - 2 1 1 3

Em que C denota a base canônica de R 3 . Temos que T ( 2 , - 1 ) é igual a:

a) 5 , - 7 , - 7 ;

b) ( 3 ,   - 3 ,   - 1 ) ;

c) ( - 1 ,   - 7 ,   - 7 ) ;

d) ( 3 ,   - 5 ,   - 1 ) ;

e) ( 5 ,   - 1 ,   - 7 ) .

Passo 1

Faaala pessoal, como vocês estão?

Essa questão nos traz uma transformação linear T , com domínio em R 2 e contradomínio em R 3 . Além disso é dada uma base B , diferente da base canônica, em R 2 :

B = 1,1 ,   0,1

O enunciado nos traz a matriz T B C , dada por:

T B C = 1 - 1 - 2 1 1 3

Um dos pontos chaves desse exercício é entender quem que é essa tal matriz T B C .

Ela é como um liquidificador galera hahaha. Você coloca nela um vetor do R 2 escrito na base B , aí lá dentro ela vai aplicar a transformação T e vai devolver pra gente um vetor do R 3 escrito na base canônica C , sacaram?

Massa! O objetivo da questão é determinar quando vale T ( 2 , - 1 ) .

Passo 2

Então pessoal, agora que entendemos como funciona a matriz T B C , tudo ficou bem mais simples. Basicamente, queremos calcular T ( 2 , - 1 ) . O problema é que esse vetor, ( 2 , - 1 ), está escrito segundo a base canônica do R 2 . Como fugimos disso?

É só reescrevermos ele em função da nossa base B . Daí:

2 , - 1 = a 1,1 + b 0,1

a = 2 a + b = - 1

Logo:

b = - 3

Assim, já sabemos que, na base B temos:

2 , - 1 = 2 , - 3 B  

Muito bom!!

Passo 3

Pra finalizar é só usarmos a nossa matriz da transformação linear T .

T 2 , - 1 = T 2 , - 3 B

Assim:

T 2 , - 3 B = 1 - 1 - 2 1 1 3 ⋅ 2 - 3  

Então:

T 2 , - 3 B = 2 + 3 - 4 - 3 2 - 9

Já finalizando, temos:

T 2 , - 1 = 5 - 7 - 7

Ou seja:

T 2 , - 1 = ( 5 , - 7 ,   - 7 )

Aeeee, viram como foi rápido desse jeito?!

Muito bom pessoal, espero que tenham entendido bem direitinho 😉

Resposta

Letra A: ( 5 , - 7 , - 7 ) .

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