USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 13
13) Considere a base:
De e a transformação linear tal que
Em que denota a base canônica de . Temos que é igual a:
a)
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Passo 1
Faaala pessoal, como vocês estão?
Essa questão nos traz uma transformação linear , com domínio em e contradomínio em . Além disso é dada uma base , diferente da base canônica, em :
O enunciado nos traz a matriz , dada por:
Um dos pontos chaves desse exercício é entender quem que é essa tal matriz .
Ela é como um liquidificador galera hahaha. Você coloca nela um vetor do escrito na base , aí lá dentro ela vai aplicar a transformação e vai devolver pra gente um vetor do escrito na base canônica , sacaram?
Massa! O objetivo da questão é determinar quando vale .
Passo 2
Então pessoal, agora que entendemos como funciona a matriz , tudo ficou bem mais simples. Basicamente, queremos calcular . O problema é que esse vetor, ), está escrito segundo a base canônica do . Como fugimos disso?
É só reescrevermos ele em função da nossa base . Daí:
Logo:
Assim, já sabemos que, na base temos:
Muito bom!!
Passo 3
Pra finalizar é só usarmos a nossa matriz da transformação linear .
Assim:
Então:
Já finalizando, temos:
Ou seja:
Aeeee, viram como foi rápido desse jeito?!
Muito bom pessoal, espero que tenham entendido bem direitinho 😉
Resposta
Letra A: .